Maths 🎲 Variables aléatoires réelles
Loi • Espérance • Variance • König-Huygens • Première spé maths • Conforme au programme 2026
1️⃣ Variable aléatoire et loi de probabilité
Définition. Une variable aléatoire réelle \(X\) associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. C'est une fonction définie sur l'univers, à valeurs réelles.
Notations à connaître : \(\{X = a\}\) est l'événement « \(X\) prend la valeur \(a\) », et \(\{X \leqslant a\}\) l'événement « \(X\) prend une valeur inférieure ou égale à \(a\) ». On note leurs probabilités \(P(X=a)\) et \(P(X\leqslant a)\).
Loi de probabilité de \(X\) : la donnée de toutes les valeurs possibles \(x_1, x_2, \dots, x_n\) et de leurs probabilités \(p_i = P(X = x_i)\). On la présente en tableau, et on vérifie toujours que :
\(p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1\)
2️⃣ Espérance
Définition. L'espérance de \(X\) est la moyenne des valeurs \(x_i\) pondérée par leurs probabilités :
\(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\,p_i\)
💬 Interprétation : si on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées se rapproche de \(E(X)\). Pour un jeu d'argent, un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain algébrique vaut \(0\).
Linéarité de l'espérance Programme 2026
Pour tous réels \(a\) et \(b\), et toutes variables aléatoires \(X\) et \(Y\) :
\(E(aX + b) = a\,E(X) + b\) et \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)
3️⃣ Variance et écart-type
Définition. La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance :
\(V(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i\,\big(x_i - E(X)\big)^2\)
L'écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\) (même unité que \(X\)).
Formule de König-Huygens Programme 2026
\(V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2\)
où \(E(X^2) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i\,x_i^2\). En clair : « la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne ».
👉 Cette formule, autrefois optionnelle, fait partie des contenus obligatoires du programme 2026. Elle rend le calcul de la variance beaucoup plus rapide (un seul passage par les carrés, pas d'écarts à calculer) — l'exemple 3 ci-dessous le montre.
⚠️ Attention à l'ordre : c'est bien \(E(X^2) - \big(E(X)\big)^2\), jamais l'inverse. Une variance est toujours positive ou nulle — si tu trouves un résultat négatif, c'est que les deux termes ont été échangés (ou qu'il y a une erreur de calcul).
✍️ Exemples corrigés
Exemple 1 — Loi et espérance d'un gain
À une loterie, le gain algébrique \(X\) (en euros) suit la loi : \(P(X=-2)=\dfrac{1}{2}\), \(P(X=1)=\dfrac{1}{3}\), \(P(X=5)=\dfrac{1}{6}\). Vérifier que c'est bien une loi de probabilité, puis calculer \(E(X)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
Correction. \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6} = 1\) ✔.
\(E(X) = -2\times\dfrac{1}{2} + 1\times\dfrac{1}{3} + 5\times\dfrac{1}{6} = -1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{-6+2+5}{6} = \dfrac{1}{6}\).
\(E(X) > 0\) : en moyenne, le joueur gagne environ 0,17 € par partie — le jeu lui est (légèrement) favorable.
Exemple 2 — Variance par la définition
\(X\) prend les valeurs 0, 1, 2 avec \(P(X=0)=\dfrac{1}{4}\), \(P(X=1)=\dfrac{1}{2}\), \(P(X=2)=\dfrac{1}{4}\). Calculer \(E(X)\) puis \(V(X)\) avec la définition.
Correction. \(E(X) = 0\times\dfrac14 + 1\times\dfrac12 + 2\times\dfrac14 = 1\).
\(V(X) = \dfrac14(0-1)^2 + \dfrac12(1-1)^2 + \dfrac14(2-1)^2 = \dfrac14 + 0 + \dfrac14 = \dfrac12\).
Et \(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac12} = \dfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}71\).
Exemple 3 — La même variance par König-Huygens
Reprendre l'exemple 2 avec la formule de König-Huygens.
Correction. \(E(X^2) = 0^2\times\dfrac14 + 1^2\times\dfrac12 + 2^2\times\dfrac14 = 0 + \dfrac12 + 1 = \dfrac32\).
\(V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = \dfrac32 - 1^2 = \dfrac12\) ✔ — même résultat, calcul plus direct.
Exemple 4 — Utiliser la linéarité de l'espérance
On reprend le gain \(X\) de l'exemple 1 (\(E(X) = \dfrac16\)). L'organisateur modifie les règles : le nouveau gain est \(Y = 6X - 1\). Calculer \(E(Y)\). Le nouveau jeu est-il équitable ?
Correction. Par linéarité : \(E(Y) = E(6X-1) = 6\,E(X) - 1 = 6\times\dfrac16 - 1 = 0\).
\(E(Y)=0\) : le nouveau jeu est équitable.
🏋️ 5 exercices pour t'entraîner
Fais chaque exercice sans calculatrice (comme à l'épreuve anticipée), puis déplie la correction.
Exercice 1. \(X\) prend les valeurs \(-1\), \(0\) et \(2\), avec \(P(X=-1)=0{,}3\) et \(P(X=0)=0{,}45\). Déterminer \(P(X=2)\), puis calculer \(E(X)\).
Voir la correction
La somme des probabilités vaut 1 : \(P(X=2) = 1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25\).
\(E(X) = -1\times0{,}3 + 0\times0{,}45 + 2\times0{,}25 = -0{,}3 + 0 + 0{,}5 = 0{,}2\).
Exercice 2. \(X\) prend les valeurs 1, 2, 3 avec les probabilités \(0{,}2\), \(0{,}5\) et \(0{,}3\). Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) (par König-Huygens) et \(\sigma(X)\).
Voir la correction
\(E(X) = 1\times0{,}2 + 2\times0{,}5 + 3\times0{,}3 = 0{,}2 + 1 + 0{,}9 = 2{,}1\).
\(E(X^2) = 1\times0{,}2 + 4\times0{,}5 + 9\times0{,}3 = 0{,}2 + 2 + 2{,}7 = 4{,}9\).
\(V(X) = 4{,}9 - 2{,}1^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49\), donc \(\sigma(X) = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7\).
Exercice 3. \(X\) prend les valeurs \(-2\), \(0\) et \(4\) avec \(P(X=-2)=\dfrac12\), \(P(X=0)=\dfrac14\), \(P(X=4)=\dfrac14\). Calculer \(V(X)\).
Voir la correction
\(E(X) = -2\times\dfrac12 + 0\times\dfrac14 + 4\times\dfrac14 = -1 + 0 + 1 = 0\).
\(E(X^2) = 4\times\dfrac12 + 0\times\dfrac14 + 16\times\dfrac14 = 2 + 0 + 4 = 6\).
König-Huygens : \(V(X) = 6 - 0^2 = 6\).
Exercice 4. Pour participer à un jeu, on paie une mise \(m\). Avec la probabilité \(\dfrac15\), on reçoit 10 € ; sinon on ne reçoit rien. Quelle valeur de \(m\) rend le jeu équitable ?
Voir la correction
Le gain algébrique \(X\) vaut \(10 - m\) avec la probabilité \(\dfrac15\), et \(-m\) avec la probabilité \(\dfrac45\).
\(E(X) = \dfrac15(10-m) + \dfrac45(-m) = 2 - \dfrac{m}{5} - \dfrac{4m}{5} = 2 - m\).
Jeu équitable \(\iff E(X) = 0 \iff m = 2\) €.
Exercice 5. Un vendeur réalise en moyenne \(E(X) = 4\) ventes par jour. Sa rémunération journalière est \(Y = 15X + 20\) (en euros). Calculer \(E(Y)\). Puis, si \(Z\) désigne les ventes d'un second magasin avec \(E(Z) = 6\), donner \(E(X + Z)\).
Voir la correction
Linéarité de l'espérance : \(E(Y) = 15\,E(X) + 20 = 15\times4 + 20 = 80\) €.
\(E(X+Z) = E(X) + E(Z) = 4 + 6 = 10\) ventes par jour en moyenne.
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