Maths 🧭 Trigonométrie : le cercle trigonométrique
Radians • Cercle trigo • Valeurs remarquables • Première spé maths • Conforme au programme 2026
📌 Programme 2026 : en Première, la trigonométrie se travaille sur le cercle trigonométrique (radians, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables, angles associés). L'étude des fonctions cosinus et sinus (parité, périodicité, courbes représentatives) est partie en Terminale.
1️⃣ Le radian
Définition. Sur un cercle de rayon 1, un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur 1. Plus généralement, un angle de \(x\) radians intercepte un arc de longueur \(x\).
Le tour complet mesure \(2\pi\) rad \(= 360°\), donc \(\pi\) rad \(= 180°\).
Conversion : degrés \(\to\) radians : on multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\). Radians \(\to\) degrés : on multiplie par \(\dfrac{180}{\pi}\).
| Degrés | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | \(180°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
2️⃣ Le cercle trigonométrique et l'enroulement
Définition. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
On « enroule » la droite des réels autour de ce cercle, en partant du point \(I(1\,;0)\) : à tout réel \(x\) correspond un unique point \(M\) du cercle. Deux réels qui diffèrent d'un tour complet, c'est-à-dire de \(2\pi\), donnent le même point : \(x\) et \(x + 2k\pi\) (\(k\) entier) ont la même image.
3️⃣ Cosinus et sinus d'un nombre réel
Définition. Si \(M\) est le point du cercle trigonométrique associé au réel \(x\), alors :
\(\cos x =\) abscisse de \(M\) et \(\sin x =\) ordonnée de \(M\)
- Pour tout réel \(x\) : \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) et \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\).
- Pour \(x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\), on retrouve le cosinus et le sinus du triangle rectangle (côté adjacent / hypoténuse, côté opposé / hypoténuse) — l'hypoténuse vaut ici 1.
Relation fondamentale. Le point \(M(\cos x\,;\sin x)\) est sur le cercle de rayon 1, donc d'après le théorème de Pythagore :
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
4️⃣ Valeurs remarquables
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
💬 Astuce pour les retenir : la ligne des sinus, c'est \(\dfrac{\sqrt0}{2},\dfrac{\sqrt1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt4}{2}\) — et la ligne des cosinus, la même chose à l'envers. Plus d'astuces sur la page Mémoriser.
5️⃣ Angles associés (lecture du cercle)
Par symétrie sur le cercle trigonométrique, on lit directement :
- Opposé \(-x\) (symétrie par rapport à l'axe des abscisses) : \(\cos(-x) = \cos x\), \(\sin(-x) = -\sin x\).
- Supplémentaire \(\pi - x\) (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) : \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), \(\sin(\pi - x) = \sin x\).
- \(\pi + x\) (symétrie par rapport à l'origine) : \(\cos(\pi + x) = -\cos x\), \(\sin(\pi + x) = -\sin x\).
👉 Pas besoin d'apprendre ces formules par cœur : dessine le cercle, place le point, et lis les signes sur la figure. C'est exactement la capacité attendue à l'épreuve.
✍️ Exemples corrigés
Exemple 1 — Conversions
Convertir \(120°\) en radians, puis \(\dfrac{3\pi}{4}\) rad en degrés.
Correction. \(120° = 120\times\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{120\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}\) rad.
\(\dfrac{3\pi}{4}\) rad \(= \dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180}{\pi} = \dfrac{3\times180}{4} = 135°\).
Exemple 2 — Cosinus et sinus de \(\dfrac{5\pi}{6}\)
Déterminer \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\).
Correction. On remarque que \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\) (angle supplémentaire de \(\dfrac{\pi}{6}\)).
Donc \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).
Exemple 3 — Angle opposé
Déterminer \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) et \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\).
Correction. Avec les formules de l'angle opposé :
\(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}\).
Exemple 4 — Utiliser \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
On sait que \(\cos x = \dfrac{3}{5}\) et que \(x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[\). Déterminer \(\sin x\).
Correction. \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\), donc \(\sin x = \dfrac{4}{5}\) ou \(\sin x = -\dfrac{4}{5}\).
Comme \(x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[\), le point associé est sous l'axe des abscisses : \(\sin x < 0\). Conclusion : \(\sin x = -\dfrac{4}{5}\).
🏋️ 5 exercices pour t'entraîner
Fais chaque exercice sans calculatrice (comme à l'épreuve anticipée), avec un cercle dessiné au brouillon, puis déplie la correction.
Exercice 1. Convertir \(150°\) en radians, puis \(\dfrac{\pi}{5}\) rad en degrés.
Voir la correction
\(150° = 150\times\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{150\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\) rad.
\(\dfrac{\pi}{5}\) rad \(= \dfrac{\pi}{5}\times\dfrac{180}{\pi} = \dfrac{180}{5} = 36°\).
Exercice 2. Quel est le point du cercle trigonométrique associé au réel \(\dfrac{13\pi}{6}\) ? En déduire \(\cos\dfrac{13\pi}{6}\) et \(\sin\dfrac{13\pi}{6}\).
Voir la correction
\(\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{12\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = 2\pi + \dfrac{\pi}{6}\) : c'est un tour complet plus \(\dfrac{\pi}{6}\), donc le point associé est le même que celui de \(\dfrac{\pi}{6}\).
D'où \(\cos\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\sin\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).
Exercice 3. Déterminer les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{3\pi}{4}\) et \(\sin\dfrac{3\pi}{4}\).
Voir la correction
\(\dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4}\) (supplémentaire de \(\dfrac{\pi}{4}\)).
Donc \(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\cos\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}\) et \(\sin\dfrac{3\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}\).
Exercice 4. Pour \(x = \dfrac{\pi}{6}\), calculer \(\cos(\pi + x)\) et \(\sin(-x)\).
Voir la correction
\(\cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}\).
\(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\).
Exercice 5. On sait que \(\sin x = -\dfrac{5}{13}\) et que \(x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[\). Déterminer la valeur exacte de \(\cos x\).
Voir la correction
\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\), donc \(\cos x = \dfrac{12}{13}\) ou \(\cos x = -\dfrac{12}{13}\).
Comme \(x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[\), le point associé est à droite de l'axe des ordonnées : \(\cos x > 0\). Conclusion : \(\cos x = \dfrac{12}{13}\).
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