Maths 🌳 Probabilités conditionnelles et indépendance
Arbres pondérés • Probabilités totales • Indépendance • Première spé maths • Conforme au programme 2026
1️⃣ Probabilité conditionnelle : le point de départ
Définition. Soient \(A\) et \(B\) deux événements avec \(P(A) \neq 0\). La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est :
\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
💬 Concrètement : on sait que \(A\) s'est produit, et on recalcule la probabilité de \(B\) dans ce nouveau monde réduit.
En multipliant par \(P(A)\), on obtient la formule du produit, très utilisée dans les arbres :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\)
📌 Cette définition est introduite en Seconde dans le programme 2026. Si tu ne l'as jamais vue (c'est le cas si tu as suivi l'ancien programme de Seconde), pas de panique : tout est repris ici depuis le début.
2️⃣ Les arbres pondérés : 3 règles
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
- La probabilité d'un chemin (une suite de branches) est le produit des probabilités de ses branches.
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
Sur les branches du 2e niveau, on écrit des probabilités conditionnelles : la branche \(A \to B\) porte \(P_A(B)\).
3️⃣ Partition de l'univers et probabilités totales
Les événements \(A\) et \(\bar{A}\) (le contraire de \(A\)) forment une partition de l'univers : tout résultat est dans l'un ou l'autre, jamais les deux.
Formule des probabilités totales. Pour tout événement \(B\) :
\(P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = P(A)\,P_A(B) + P(\bar{A})\,P_{\bar{A}}(B)\)
💬 Sur l'arbre, c'est simplement la règle 3 : on additionne tous les chemins qui mènent à \(B\).
4️⃣ Indépendance de deux événements
Définition. \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
De façon équivalente (si \(P(A)\neq 0\)) : \(P_A(B) = P(B)\) — savoir que \(A\) s'est produit ne change pas la probabilité de \(B\).
⚠️ Ne confonds pas indépendants et incompatibles. Incompatibles = \(A \cap B = \varnothing\) (ils ne peuvent pas se produire ensemble). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : \(P(A\cap B)=0\) alors que \(P(A)P(B)>0\).
5️⃣ Répéter des épreuves de Bernoulli (\(n \leqslant 4\)) Programme 2026
Épreuve de Bernoulli : une expérience à deux issues, « succès » (probabilité \(p\)) et « échec » (probabilité \(1-p\)).
Au programme 2026 de Première, on répète \(n \leqslant 4\) épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, et on représente la situation par un arbre pour calculer des probabilités. Chaque chemin de l'arbre a pour probabilité le produit de ses branches.
📌 La loi binomiale (formule générale avec les coefficients binomiaux) n'arrive qu'en Terminale : en Première, l'outil, c'est l'arbre.
✍️ Exemples corrigés
Exemple 1 — Lire un tableau croisé
Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles et 12 garçons. 10 filles et 8 garçons pratiquent un sport. On choisit un élève au hasard. On note \(F\) : « c'est une fille » et \(S\) : « il ou elle pratique un sport ». Calculer \(P(S)\), \(P(F \cap S)\) et \(P_F(S)\).
Correction. Au total, \(10+8 = 18\) élèves pratiquent un sport : \(P(S) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\).
\(P(F \cap S) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\) (les filles sportives).
\(P_F(S) = \dfrac{P(F\cap S)}{P(F)} = \dfrac{10/30}{18/30} = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}\). On retrouve bien « 10 sportives parmi les 18 filles ».
Exemple 2 — Arbre et probabilités totales
Une usine a deux machines. \(M_1\) produit 60 % des pièces, \(M_2\) en produit 40 %. 2 % des pièces de \(M_1\) sont défectueuses, et 5 % de celles de \(M_2\). On prélève une pièce au hasard ; \(D\) : « la pièce est défectueuse ». Calculer \(P(D)\).
Correction. On dresse l'arbre : \(P(M_1)=0{,}6\), \(P(M_2)=0{,}4\), \(P_{M_1}(D)=0{,}02\), \(P_{M_2}(D)=0{,}05\).
Par la formule des probabilités totales :
\(P(D) = P(M_1)\,P_{M_1}(D) + P(M_2)\,P_{M_2}(D) = 0{,}6\times0{,}02 + 0{,}4\times0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032\).
Soit 3,2 % de pièces défectueuses.
Exemple 3 — Justifier une indépendance
On donne \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}3\) et \(P(A\cap B)=0{,}12\). Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Même question si \(P(A\cap B)=0{,}10\).
Correction. \(P(A)\times P(B) = 0{,}4\times0{,}3 = 0{,}12\).
Premier cas : \(P(A\cap B) = 0{,}12 = P(A)P(B)\) → \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Second cas : \(P(A\cap B) = 0{,}10 \neq 0{,}12\) → ils ne sont pas indépendants.
Exemple 4 — Bernoulli répété (\(n=3\))
Un basketteur réussit chaque lancer franc avec la probabilité \(0{,}8\), les lancers étant indépendants. Il tire 3 lancers. Quelle est la probabilité qu'il en réussisse exactement 2 ?
Correction. On dresse l'arbre des 3 épreuves (8 chemins). Les chemins avec exactement 2 succès (S) et 1 échec (E) sont : SSE, SES, ESS — il y en a 3.
Chacun a pour probabilité \(0{,}8\times0{,}8\times0{,}2 = 0{,}128\).
Donc \(P(\text{exactement 2 réussites}) = 3\times0{,}128 = 0{,}384\).
🏋️ 5 exercices pour t'entraîner
Dessine systématiquement l'arbre ou le tableau au brouillon, puis déplie la correction.
Exercice 1. Un lycée compte 250 élèves : 150 en Première et 100 en Terminale. 90 élèves de Première et 70 de Terminale sont demi-pensionnaires (DP). On choisit un élève au hasard. Calculer : a) \(P(DP)\) ; b) \(P_T(DP)\) (sachant qu'il est en Terminale) ; c) la probabilité que l'élève soit un demi-pensionnaire de Première.
Voir la correction
a) \(90+70 = 160\) demi-pensionnaires : \(P(DP) = \dfrac{160}{250} = 0{,}64\).
b) Parmi les 100 élèves de Terminale, 70 sont DP : \(P_T(DP) = \dfrac{70}{100} = 0{,}7\).
c) 90 élèves sur 250 sont des demi-pensionnaires de Première : \(\dfrac{90}{250} = 0{,}36\).
Exercice 2. S'il pleut aujourd'hui, il pleuvra demain avec la probabilité \(0{,}6\) ; s'il ne pleut pas aujourd'hui, il pleuvra demain avec la probabilité \(0{,}2\). Il pleut aujourd'hui avec la probabilité \(0{,}3\). Quelle est la probabilité qu'il pleuve demain ?
Voir la correction
Notons \(A\) : « il pleut aujourd'hui » et \(B\) : « il pleut demain ». On a \(P(A)=0{,}3\), \(P_A(B)=0{,}6\), \(P_{\bar A}(B)=0{,}2\).
Probabilités totales : \(P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar A)P_{\bar A}(B) = 0{,}3\times0{,}6 + 0{,}7\times0{,}2 = 0{,}18 + 0{,}14 = 0{,}32\).
Exercice 3. \(A\) et \(B\) sont indépendants, avec \(P(A) = 0{,}25\) et \(P(B) = 0{,}6\). Calculer \(P(A \cap B)\) et \(P_B(A)\).
Voir la correction
Indépendance : \(P(A\cap B) = P(A)\times P(B) = 0{,}25\times0{,}6 = 0{,}15\).
\(P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}15}{0{,}6} = 0{,}25 = P(A)\) — logique : quand deux événements sont indépendants, savoir que \(B\) s'est produit ne change rien pour \(A\).
Exercice 4. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. \(A\) : « c'est un cœur », \(B\) : « c'est un roi ». Montrer que \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Voir la correction
\(P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\) (8 cœurs), \(P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\) (4 rois).
\(A \cap B\) : « c'est le roi de cœur », donc \(P(A\cap B) = \dfrac{1}{32}\).
Or \(P(A)\times P(B) = \dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{32} = P(A\cap B)\) : les événements sont bien indépendants.
Exercice 5. Chaque graine d'un sachet germe avec la probabilité \(0{,}9\), indépendamment des autres. On plante 4 graines. Calculer la probabilité : a) que les 4 germent ; b) qu'aucune ne germe ; c) qu'au moins une germe.
Voir la correction
C'est la répétition de 4 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques (\(p = 0{,}9\)).
a) \(P(\text{4 germent}) = 0{,}9^4 = 0{,}6561\).
b) \(P(\text{aucune}) = 0{,}1^4 = 0{,}0001\).
c) L'événement contraire d'« au moins une » est « aucune » : \(P(\text{au moins une}) = 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999\).
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