Maths 📈 La fonction exponentielle
Cours + 4 exemples corrigés + 5 exercices • Première spé maths • Conforme au programme 2026
1️⃣ Définition
Définition. La fonction exponentielle est l'unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que :
\(f' = f\) et \(f(0)=1\)
On la note \(\exp\). L'existence et l'unicité sont admises.
On pose \(e = \exp(1) \approx 2{,}718\). On note alors \(\exp(x) = e^x\).
Conséquence immédiate de la définition : l'exponentielle est sa propre dérivée :
\(\big(e^x\big)' = e^x\)
2️⃣ Propriétés algébriques
Pour tous réels \(x\) et \(y\), et tout entier \(n\) :
- \(e^{x+y} = e^x \, e^y\)
- \(e^{x}\,e^{-x} = 1\), donc \(e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}\)
- \(e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}\)
- \(\big(e^{x}\big)^{n} = e^{nx}\)
💬 Retenir : « l'exponentielle transforme les sommes en produits ». C'est la même mécanique que les puissances : \(2^{3+5}=2^3\times2^5\).
3️⃣ Signe, variations, équations
- Signe : pour tout réel \(x\), \(e^x > 0\). L'exponentielle ne s'annule jamais et n'est jamais négative.
- Variations : la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (sa dérivée \(e^x\) est strictement positive).
La stricte croissance donne deux règles très utiles pour résoudre équations et inéquations :
\(e^a = e^b \iff a = b\) et \(e^a < e^b \iff a < b\)
Lien avec les suites géométriques : pour \(a\) réel fixé, la suite \(\big(e^{na}\big)_{n\in\mathbb{N}}\) est géométrique de raison \(e^{a}\), car \(e^{(n+1)a} = e^{na}\times e^{a}\).
4️⃣ Dérivée de \(t \mapsto e^{at}\) Programme 2026
Pour \(a\) réel :
\(\big(e^{at}\big)' = a\,e^{at}\)
Exemples directs : \(\big(e^{3t}\big)' = 3e^{3t}\) ; \(\big(e^{-2t}\big)' = -2e^{-2t}\) ; \(\big(e^{0{,}5t}\big)' = 0{,}5\,e^{0{,}5t}\).
⚠️ Au programme 2026 de Première, c'est la seule forme « composée » exigible. La règle générale sur la dérivée de \(g(ax+b)\) — et donc la formule \((e^{u})'=u'e^{u}\) — n'est plus au programme de Première. Pour une expression comme \(e^{at+b}\), on se ramène au cas connu en factorisant : \(e^{at+b} = e^{b}\times e^{at}\), donc \(\big(e^{at+b}\big)' = e^b \times a\,e^{at} = a\,e^{at+b}\).
Croissance et décroissance exponentielles : pour \(k>0\), la fonction \(t\mapsto e^{kt}\) modélise une croissance (capital à taux fixe, population…) et \(t\mapsto e^{-kt}\) une décroissance (décroissance radioactive, refroidissement…).
✍️ Exemples corrigés
Exemple 1 — Simplifier une expression
Simplifier \(A = \dfrac{e^{5}\times e^{-2}}{e^{-3}}\) et \(B = \big(e^{x}\big)^{2}\times e^{-2x}\).
Correction. \(A = \dfrac{e^{5-2}}{e^{-3}} = e^{3}\times e^{3} = e^{6}\).
\(B = e^{2x}\times e^{-2x} = e^{2x-2x} = e^{0} = 1\).
Exemple 2 — Dériver
Dériver \(f(x) = 4e^{x} - 3x^{2} + 7\) et \(g(t) = 6e^{-2t}\).
Correction. \(f'(x) = 4e^{x} - 6x\) (l'exponentielle est sa propre dérivée, la constante disparaît).
\(g'(t) = 6\times(-2)e^{-2t} = -12\,e^{-2t}\) (formule \(\big(e^{at}\big)'=a\,e^{at}\) avec \(a=-2\)).
Exemple 3 — Équation et inéquation
Résoudre \(e^{5x-2} = e^{3x+4}\), puis \(e^{-x} < 1\).
Correction. L'exponentielle étant strictement croissante :
\(e^{5x-2} = e^{3x+4} \iff 5x-2 = 3x+4 \iff 2x = 6 \iff x = 3\).
Pour l'inéquation, on écrit \(1 = e^{0}\) : \(e^{-x} < e^{0} \iff -x < 0 \iff x > 0\). Solution : \(]0\,;+\infty[\).
Exemple 4 — Modélisation (croissance exponentielle)
Un capital de 1 000 € est modélisé par \(C(t) = 1000\,e^{0{,}03t}\) (\(t\) en années). Étudier le sens de variation de \(C\) et estimer \(C(10)\), sachant que \(e^{0{,}3}\approx 1{,}35\).
Correction. \(C'(t) = 1000\times 0{,}03\,e^{0{,}03t} = 30\,e^{0{,}03t}\). Comme \(e^{0{,}03t}>0\), on a \(C'(t)>0\) : le capital est strictement croissant.
\(C(10) = 1000\,e^{0{,}3} \approx 1000\times 1{,}35 = 1350\) €.
🏋️ 5 exercices pour t'entraîner
Fais chaque exercice sans calculatrice (comme à l'épreuve anticipée), puis déplie la correction.
Exercice 1. Simplifier \(\big(e^{4}\big)^{2}\times e^{-5}\) puis \(e^{7}\times e^{-7}\).
Voir la correction
\(\big(e^{4}\big)^{2}\times e^{-5} = e^{8}\times e^{-5} = e^{8-5} = e^{3}\).
\(e^{7}\times e^{-7} = e^{7-7} = e^{0} = 1\).
Exercice 2. Dériver \(f(x) = 5e^{x} + x^{3} - 2x\).
Voir la correction
On dérive terme à terme : \(f'(x) = 5e^{x} + 3x^{2} - 2\).
Exercice 3. Dériver \(g(t) = 8e^{-3t}\) et \(h(t) = 2e^{0{,}5t}\).
Voir la correction
Avec \(\big(e^{at}\big)' = a\,e^{at}\) :
\(g'(t) = 8\times(-3)e^{-3t} = -24\,e^{-3t}\).
\(h'(t) = 2\times 0{,}5\,e^{0{,}5t} = e^{0{,}5t}\).
Exercice 4. Résoudre l'équation \(e^{4x+1} = e^{x-5}\), puis l'inéquation \(e^{2x-3} \leqslant 1\).
Voir la correction
Équation : \(e^{4x+1}=e^{x-5} \iff 4x+1 = x-5 \iff 3x = -6 \iff x = -2\).
Inéquation : \(1 = e^{0}\), donc \(e^{2x-3}\leqslant e^{0} \iff 2x-3 \leqslant 0 \iff x \leqslant \dfrac{3}{2}\). Solution : \(\left]-\infty\,;\dfrac{3}{2}\right]\).
Exercice 5. Soit \(f(x) = x\,e^{x}\). Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations de \(f\).
Voir la correction
Dérivée d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=e^{x}\) :
\(f'(x) = 1\times e^{x} + x\,e^{x} = (x+1)\,e^{x}\).
Comme \(e^{x} > 0\) pour tout \(x\), \(f'(x)\) est du signe de \(x+1\) : négatif sur \(]-\infty\,;-1]\), positif sur \([-1\,;+\infty[\).
Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;-1]\) puis croissante sur \([-1\,;+\infty[\). Elle admet un minimum en \(x=-1\) : \(f(-1) = -e^{-1} = -\dfrac{1}{e} \approx -0{,}37\).
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