🔓 CONTENU FORMATION — version complète

💡 Mémoriser les maths, durablement

La version complète : les 11 mnémotechniques, 10 scènes PAO prêtes à visualiser, et 2 palais de mémoire entiers (Première & Terminale) pour ranger tout le programme.

🎯 Moyens mnémotechniques prêts à l'emploi

Des astuces courtes à retenir une fois pour toutes. Elles t'évitent d'apprendre bêtement par cœur.

La table de trigo avec la règle du \(\dfrac{\sqrt{n}}{2}\) Pour retrouver les sinus des angles remarquables, écris simplement \(\sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) sur \(2\). Le cosinus, c'est la même chose à l'envers.

Angle	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)
\(\sin\)	\(\frac{\sqrt0}{2}=0\)	\(\frac{\sqrt1}{2}=\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt4}{2}=1\)
\(\cos\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	\(0\)

Dériver sin et cos : le cycle de 4 En dérivant, on tourne toujours dans le même sens : \(\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin\dots\) Donc \((\sin x)'=\cos x\) et \((\cos x)'=-\sin x\) (le cosinus « perd » son signe).

Signe du trinôme : « du signe de \(a\) à l'extérieur » Quand \(\Delta>0\), le trinôme \(ax^2+bx+c\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines, et du signe de \(-a\) entre les deux. Un seul mot à retenir : extérieur = signe de a.

SOH-CAH-TOA (triangle rectangle) \(\sin=\dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}\) · \(\cos=\dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}\) · \(\tan=\dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}\). Trois syllabes, les trois rapports.

Somme et produit des racines Pour \(ax^2+bx+c\) : la somme des racines vaut \(-\dfrac{b}{a}\) et le produit \(\dfrac{c}{a}\). Astuce : la somme « change de signe » (le \(-\)), le produit non.

Dérivées usuelles : « l'exposant tombe devant, puis perd un étage » \((x^n)' = n\,x^{n-1}\) : le \(n\) descend en coefficient, l'exposant baisse de 1. Le même réflexe couvre les cas piégeux : \(\dfrac1x = x^{-1}\) donne \(\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac1{x^2}\), et pour la racine, « la racine se dérive en 1 sur 2 fois elle-même » : \((\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}\).

Trinôme avec \(\Delta<0\) : « pas de racine, pas de traversée » Si \(\Delta<0\), la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses : le trinôme garde partout le signe de \(a\). Une seule question à se poser : la parabole est-elle au-dessus (\(a>0\)) ou en dessous (\(a<0\)) ?

König-Huygens : « la moyenne des carrés MOINS le carré de la moyenne » (⭐ obligatoire au programme 2026) \(V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2\). L'ordre ne se discute pas : les carrés d'abord (on élève chaque valeur au carré, puis on moyenne), le carré ensuite (on moyenne, puis on élève). Si ta variance sort négative, tu as inversé les deux.

Approximation linéaire : « départ + pente × pas » (⭐ ajout du programme 2026) \(f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h\) — comme un trajet : position de départ + vitesse × durée. Cas star, à connaître sans calculatrice : \((1+h)^n \approx 1 + nh\) pour \(h\) proche de 0. Exemple : \((1{,}02)^3 \approx 1 + 3\times0{,}02 = 1{,}06\).

Radians : « 6-4-3-2, l'escalier des angles » \(\dfrac{\pi}{6}=30°\), \(\dfrac{\pi}{4}=45°\), \(\dfrac{\pi}{3}=60°\), \(\dfrac{\pi}{2}=90°\) : quand le dénominateur descend (6→4→3→2), l'angle monte. Et pour convertir des degrés en radians, un seul geste : multiplier par \(\dfrac{\pi}{180}\).

Espérance : « le panier moyen » — et sa linéarité (⭐ programme 2026) \(E(X)=\sum x_i\,p_i\) : chaque valeur pèse son poids de probabilité, comme un panier de courses (prix × quantité). La variance \(V(X)=\sum p_i\,(x_i-E(X))^2\) mesure l'écart au panier moyen. Et la linéarité s'énonce en une phrase : « le \(a\) multiplie, le \(b\) s'ajoute » : \(E(aX+b)=a\,E(X)+b\).

🎭 La méthode PAO (Personne–Action–Objet)

Le cerveau retient mille fois mieux des images vivantes que des symboles abstraits. La PAO transforme une formule en petite scène mentale absurde (donc mémorable).

Personne : associe un personnage marquant à l'élément principal (une lettre, une fonction).
Action : ce que fait ce personnage traduit l'opération (dériver, élever au carré…).
Objet : l'objet manipulé code le résultat ou la constante.

Exemple d'amorce : pour retenir \((e^x)'=e^x\) → imagine un personnage « Exp » (Personne) qui se regarde dans un miroir (Action) : il est identique à son reflet (Objet). La dérivée de l'exponentielle, c'est elle-même. Les scènes complètes, formule par formule, sont juste en dessous.

🏛️ Le palais de mémoire (méthode des lieux)

Technique des champions de mémoire : on « range » les informations dans un lieu qu'on connaît par cœur (sa maison, son trajet). Pour réviser, on reparcourt le lieu et chaque endroit rappelle sa formule.

Choisis un lieu familier et un parcours fixe (entrée → salon → cuisine → chambre…).
Place une notion par endroit, sous forme d'image forte (méthode PAO ci-dessus).
Le jour J, ferme les yeux et refais le trajet : les formules reviennent dans l'ordre.

Exemple d'amorce : range tout le chapitre « dérivées » dans ta cuisine → sur le frigo : \((x^n)'=nx^{n-1}\) ; dans l'évier qui fuit : \(\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}\) ; au miroir : \((e^x)'=e^x\). Les deux palais complets (Première et Terminale) sont juste en dessous.

🎭 Les scènes PAO, formule par formule

Chaque formule devient une mini-scène Personne–Action–Objet. Lis-la une fois en la visualisant vraiment (plus c'est absurde, mieux ça tient) — puis range-la dans ton palais ci-dessous.

\((e^x)' = e^x\) — « Exp au miroir »Exp (Personne), un personnage doré, se regarde dans un miroir (Action) : son reflet est parfaitement identique (Objet). Dériver l'exponentielle, c'est la laisser inchangée.

\((x^n)' = n\,x^{n-1}\) — « le saut du balcon »Le petit \(n\) (Personne) saute du balcon de l'exposant (Action) et atterrit devant la porte en coefficient (Objet). L'immeuble perd un étage : \(n-1\).

\(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\) — « l'évier qui déborde »Monsieur Inverse (Personne) laisse couler l'évier (Action) : l'eau recouvre deux fois plus de carrelage (\(x^2\), l'Objet) et l'eau glacée met tout le monde de mauvaise humeur : signe moins.

\((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) — « la racine jumelle »Madame Racine (Personne) se dédouble (Action) : il faut désormais 2 racines au sous-sol (Objet, le dénominateur) pour la porter.

\(\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos\) — « le manège à 4 places »Sinus (Personne) monte sur un manège (Action) à 4 sièges (Objet) : à chaque tour de dérivation il avance d'une place, toujours dans le même sens, et revient chez lui au 4ᵉ tour.

\(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) — « König le chevalier aux deux boucliers »Le chevalier König (Personne) brandit deux boucliers carrés (Action) : le grand d'abord (la moyenne des carrés), puis il retranche le petit (le carré de la moyenne, l'Objet). S'il les inverse, il tombe : variance négative = erreur.

\(f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h\) — « le randonneur »Un randonneur (Personne) part du refuge \(f(a)\), marche le long de la pente \(f'(a)\) (Action) pendant un petit pas \(h\) (Objet). Position d'arrivée ≈ départ + pente × pas.

\(E(aX+b) = a\,E(X) + b\) — « le caissier »Le caissier (Personne) multiplie ton panier moyen par \(a\) (Action), puis ajoute le ticket d'entrée \(b\) (Objet). Le \(a\) multiplie, le \(b\) s'ajoute — jamais l'inverse.

Somme \(=-\frac{b}{a}\), produit \(=\frac{c}{a}\) — « les deux sœurs racines »Les deux sœurs (Personnes) posent pour une photo : pour la somme, la photographe crie « moins b sur a ! » et l'une boude (Action, le signe −) ; pour le produit, tout le monde sourit (Objet, pas de signe) : \(c/a\).

Suites : \(+r\) ou \(\times q\) — « l'escalier et l'ascenseur »La suite arithmétique (Personne) monte l'escalier (Action) : une marche fixe \(+r\) à chaque pas (Objet). La géométrique prend l'ascenseur multiplicateur : chaque étage multiplie par \(q\).

🏠 Palais de mémoire — PREMIÈRE (ta maison, 8 pièces)

Parcours fixe : porte → salon → cuisine → escalier → salle de bain → chambre → bureau → jardin. Ferme les yeux, refais le trajet : chaque pièce te rend son chapitre.

🚪 La porte d'entrée — Second degré. La clé a deux dents (les deux racines). Si la clé est limée (\(\Delta<0\)) : la porte ne s'ouvre jamais — pas de racine, pas de traversée, le trinôme garde partout le signe de \(a\). Sur le paillasson : « extérieur = signe de \(a\) ».
🛋️ Le salon — Dérivation (le sens). Le dossier du canapé penche : \(f'(a)\) = la pente de la tangente. Au mur, un tableau : croissante quand \(f'>0\), décroissante quand \(f'<0\).
🍳 La cuisine — Dérivées usuelles. Sur le frigo : \((x^n)'=nx^{n-1}\) (le saut du balcon). L'évier qui déborde : \((1/x)'=-1/x^2\). Le miroir au-dessus : \((e^x)'=e^x\). Le robinet double : \((\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}\).
📶 L'escalier — Suites. Chaque marche ajoute \(r\) (arithmétique) ; l'ascenseur imaginaire à côté multiplie par \(q\) (géométrique). Gravé sur la rampe : \(u_{n+1}=u_n+r\) et \(u_{n+1}=q\,u_n\).
🛁 La salle de bain — Exponentielle. La buée monte toujours : \(e^x>0\) pour tout \(x\), jamais nulle, toujours croissante. Sur la vitre embuée, quelqu'un a écrit \(e^{a+b}=e^a\,e^b\).
🛏️ La chambre — Trigonométrie. Le réveil rond = le cercle trigo. Sur la table de nuit, l'escalier des angles « 6-4-3-2 » (\(\pi/6=30°\), \(\pi/4=45°\), \(\pi/3=60°\), \(\pi/2=90°\)) et la règle \(\frac{\sqrt n}{2}\) pour les sinus.
🗄️ Le bureau — Probabilités conditionnelles. Deux tiroirs = l'arbre à deux branches : on ouvre d'abord le tiroir \(A\), PUIS on cherche dedans : \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\).
🌳 Le jardin — Variables aléatoires. Le panier de courses : \(E(X)=\sum x_i p_i\) (chaque valeur pèse son poids). Le chevalier König garde le portail avec ses deux boucliers : \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\). Le caissier du marché : \(E(aX+b)=aE(X)+b\).

🏫 Palais de mémoire — TERMINALE (le trajet du lycée, 8 étapes)

Parcours fixe : portail → couloir → CDI → labo → gymnase → salle info → salle d'arts → cafétéria.

🚧 Le portail — Récurrence. On n'entre que marche par marche : montrer qu'on peut franchir la 1ʳᵉ (initialisation), puis que chaque marche mène à la suivante (hérédité). Les deux, sinon le portail reste fermé.
🏃 Le couloir infini — Limites & croissances comparées. Trois élèves font la course vers l'infini : exp arrive toujours devant, les puissances \(x^n\) suivent, ln traîne loin derrière.
📚 Le CDI — Logarithme. La bibliothécaire range les multiplications au rayon des additions : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\). Sur son bureau : \((\ln x)'=\frac1x\) (pour \(x>0\)), et \(\ln\) n'accepte que les visiteurs strictement positifs.
🧪 Le labo — Intégrales. On remplit un bécher sous la courbe : \(\int_a^b f(x)\,dx\) = l'aire. La mesure : niveau final moins niveau initial, \(F(b)-F(a)\), où \(F\) est une primitive.
🏐 Le gymnase — Géométrie dans l'espace. Une passe parfaitement perpendiculaire : produit scalaire nul \(\vec u\cdot\vec v=0\) ⇔ vecteurs orthogonaux. Le coach répète : \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'\).
💻 La salle info — Loi binomiale. \(n\) parties du même jeu, probabilité \(p\) de gagner chacune, parties indépendantes : le score moyen s'affiche à l'écran, \(E(X)=np\).
🎨 La salle d'arts — Convexité. Deux croquis au tableau : le sourire (convexe, \(f''\ge 0\), tangentes sous la courbe) et le chapeau (concave, \(f''\le 0\)). Le point où le dessin change = point d'inflexion.
🥪 La cafétéria — Retrouvailles statistiques. König y déjeune, toujours avec ses deux boucliers : \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\) — et l'écart-type \(\sigma=\sqrt{V(X)}\) est sa boisson « racine ».

Comment t'en servir : 10 min par semaine, refais mentalement UN des deux trajets en récitant chaque pièce. Au bout de 3 passages, le trajet se récite tout seul — et le jour J, tu « marches » dans ton palais pendant l'épreuve.

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