Exercice 1 (5 points) — Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Une entreprise fabrique des gourdes isothermes sur deux lignes de production. La ligne A assure 65 % de la production, la ligne B le reste. Des contrôles montrent que 4 % des gourdes issues de la ligne A présentent un défaut d'étanchéité, contre 9 % pour celles de la ligne B.

On prélève une gourde au hasard dans la production et on note : A : « la gourde provient de la ligne A », B : « la gourde provient de la ligne B », D : « la gourde présente un défaut d'étanchéité ».

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré modélisant la situation. (0,5 pt)
2. Calculer \(P(A \cap D)\). (0,75 pt)
3. Montrer que \(P(D) = 0{,}0575\). (1 pt)
4. La gourde prélevée présente un défaut d'étanchéité. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la ligne B ? Arrondir à \(10^{-3}\). (1 pt)
5. On prélève à présent 20 gourdes au hasard. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de gourdes défectueuses du prélèvement.
   1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,5 pt)
   2. Calculer la probabilité qu'au moins une gourde du prélèvement soit défectueuse. Arrondir à \(10^{-3}\). (0,75 pt)
   3. Calculer \(E(X)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. (0,5 pt)

Exercice 2 (5 points) — Géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\), on considère les points \(A(2\,;1\,;-1)\), \(B(4\,;2\,;1)\), \(C(4\,;-1\,;-2)\) et \(S(1\,;4\,;-3)\).

1. 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle et isocèle en A. (0,75 pt)
   2. Calculer l'aire du triangle \(ABC\). (0,5 pt)
2. 1. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(1\,;2\,;-2)\) est normal au plan \((ABC)\). (0,5 pt)
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan \((ABC)\) est \(x + 2y - 2z - 6 = 0\). (0,75 pt)
3. 1. Vérifier que \(S\) n'appartient pas au plan \((ABC)\), puis donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(S\) et orthogonale au plan \((ABC)\). (0,5 pt)
   2. Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(S\) sur le plan \((ABC)\). (0,75 pt)
4. En déduire la distance du point \(S\) au plan \((ABC)\). (0,5 pt)
5. Calculer le volume du tétraèdre \(SABC\). Rappel : \(V = \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B} \times h\), où \(\mathcal{B}\) est l'aire d'une base et \(h\) la hauteur associée. (0,75 pt)

Exercice 3 (6 points) — Étude d'une fonction avec logarithme, convexité et intégrale

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par :

\(f(x) = x^2 - 6x + 4\ln x + 5\)

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(0\) et sa limite en \(+\infty\). Interpréter graphiquement le premier résultat. (1 pt)
2. Montrer que, pour tout \(x > 0\), \(f'(x) = \dfrac{2(x-1)(x-2)}{x}\), puis dresser le tableau de variations complet de \(f\) (les images seront données en valeur exacte). (1,5 pt)
3. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse 1. Que remarque-t-on ? (0,5 pt)
4. Étudier la convexité de \(f\) et montrer que \(\mathcal{C}_f\) admet un unique point d'inflexion, dont on précisera l'abscisse exacte. (1 pt)
5. Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet exactement deux solutions sur \(]0\,;+\infty[\) : la valeur \(x = 1\) d'une part, et une solution \(\alpha\) d'autre part, dont on donnera un encadrement d'amplitude \(10^{-1}\). (1,25 pt)
6. Montrer que la fonction \(F\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 4(x\ln x - x) + 5x\) est une primitive de \(f\), puis en déduire la valeur exacte de \(I = \displaystyle\int_1^{e} f(x)\,dx\) et une valeur approchée de \(I\) à \(10^{-2}\) près. (0,75 pt)

Exercice 4 (4 points) — Suites : récurrence, convergence et algorithme

Un patient suit un traitement de longue durée. Chaque jour, son organisme élimine 40 % du médicament présent dans le sang, puis le patient reçoit une nouvelle dose de 2 mg. On note \(u_n\) la quantité de médicament (en mg) présente dans le sang juste après la prise du jour \(n\). Juste après la première prise, \(u_0 = 8\). On admet que, pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 2\)

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (0,5 pt)
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(5 \leq u_n \leq 8\). (1,25 pt)
3. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante. En déduire qu'elle converge. (0,75 pt)
4. On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = u_n - 5\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}6\) et préciser \(v_0\). Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\), et en déduire la limite de \((u_n)\). Interpréter dans le contexte. (1 pt)
5. On considère la fonction Python suivante :

   def seuil():
       u = 8
       n = 0
       while u > 5.01:
           u = 0.6 * u + 2
           n = n + 1
       return n

   Déterminer, en le justifiant par un calcul, la valeur renvoyée par l'appel seuil(), puis interpréter cette valeur dans le contexte. (0,5 pt)

Exercice 1 (5 points) — QCM

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (3-x)\,e^{-x}\) est égale à :
     a. \(-\infty\)    b. \(0\)    c. \(+\infty\)    d. \(3\)
2. La suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \geq 1\) par \(u_n = \dfrac{2^n - 3^n}{3^n}\) :
     a. converge vers \(-1\)    b. converge vers \(0\)    c. diverge vers \(+\infty\)    d. diverge vers \(-\infty\)
3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^4 - 6x^2\). Sa courbe représentative :
     a. n'admet aucun point d'inflexion    b. admet exactement un point d'inflexion
     c. admet exactement deux points d'inflexion    d. est au-dessus de toutes ses tangentes
4. Une variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(30\,;\,0{,}1)\). La probabilité \(P(X \geq 1)\) est égale à :
     a. \(1 - 0{,}9^{30}\)    b. \(0{,}9^{30}\)    c. \(1 - 0{,}1^{30}\)    d. \(30\times 0{,}1\)
5. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère la droite \(d : \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4t \end{cases} (t\in\mathbb{R})\) et le plan \(\mathcal{P} : 2x + y - z - 5 = 0\). Alors :
     a. \(d\) est incluse dans \(\mathcal{P}\)    b. \(d\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\)
     c. \(d\) coupe \(\mathcal{P}\) sans lui être perpendiculaire    d. \(d\) est perpendiculaire à \(\mathcal{P}\)

Exercice 2 (5 points) — Fonction exponentielle, convexité et intégration par parties

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par :

\(f(x) = (2x+1)\,e^{-x}\)

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et interpréter graphiquement le résultat. (0,75 pt)
2. Montrer que, pour tout \(x \geq 0\), \(f'(x) = (1-2x)\,e^{-x}\), puis dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\) (on donnera la valeur exacte du maximum). (1,25 pt)
3. Montrer que, pour tout \(x \geq 0\), \(f''(x) = (2x-3)\,e^{-x}\). Étudier la convexité de \(f\) et montrer que \(\mathcal{C}_f\) admet un unique point d'inflexion, dont on donnera les coordonnées exactes. (1,25 pt)
4. Démontrer que l'équation \(f(x) = 1\) admet une unique solution \(\beta\) sur \(\left[\frac{1}{2}\,;+\infty\right[\), puis donner un encadrement de \(\beta\) d'amplitude \(10^{-1}\). (0,75 pt)
5. À l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur exacte de \(I = \displaystyle\int_0^{1} f(x)\,dx\), puis en donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près. Interpréter graphiquement ce résultat. (1 pt)

Exercice 3 (5 points) — Géométrie dans l'espace : cube et section plane

On considère le cube \(ABCDEFGH\) d'arête 1, muni du repère orthonormé \(\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)\). Dans ce repère : \(A(0\,;0\,;0)\), \(B(1\,;0\,;0)\), \(D(0\,;1\,;0)\) et \(E(0\,;0\,;1)\). On note \(I\) le milieu de l'arête \([BF]\).

1. Donner, sans justification, les coordonnées des points \(C\), \(G\) et \(I\). (0,5 pt)
2. 1. Justifier que les points \(E\), \(I\) et \(C\) définissent un plan. (0,5 pt)
   2. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(1\,;1\,;2)\) est normal au plan \((EIC)\). (0,5 pt)
   3. En déduire une équation cartésienne du plan \((EIC)\). (0,5 pt)
3. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite \((DG)\). (0,5 pt)
   2. Montrer que la droite \((DG)\) coupe le plan \((EIC)\) en un unique point \(M\), dont on déterminera les coordonnées. (0,75 pt)
4. Calculer la distance du point \(G\) au plan \((EIC)\). (0,75 pt)
5. On admet que l'aire du triangle \(EIC\) vaut \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\). Calculer le volume du tétraèdre \(GEIC\). Rappel : \(V = \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B} \times h\). (1 pt)

Exercice 4 (5 points) — Dénombrement et loi binomiale

Le club d'informatique d'un lycée compte 13 membres : 8 filles et 5 garçons.

Partie A — Dénombrement.

1. Combien d'équipes de 4 membres peut-on former avec les 13 membres du club ? (0,5 pt)
2. Le club doit élire un bureau composé d'un président, d'un secrétaire et d'un trésorier, ces trois rôles étant tenus par trois personnes distinctes. Combien y a-t-il de bureaux possibles ? (0,5 pt)
3. Combien d'équipes de 4 membres comportent exactement 2 filles ? (0,75 pt)
4. On tire au sort une équipe de 4 membres. Quelle est la probabilité qu'elle comporte exactement 2 filles ? On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible, puis arrondi à \(10^{-3}\). (0,5 pt)

Partie B — Loi binomiale. Une équipe du club s'inscrit à un concours en ligne composé de 10 défis. On admet que l'équipe réussit chaque défi avec la probabilité \(0{,}85\), indépendamment des autres défis. On note \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de défis réussis.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,5 pt)
2. Calculer la probabilité que l'équipe réussisse les 10 défis. Arrondir à \(10^{-3}\). (0,5 pt)
3. Calculer la probabilité que l'équipe réussisse au moins 9 défis. Arrondir à \(10^{-3}\). (0,5 pt)
4. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\) (arrondi à \(10^{-2}\)), puis interpréter \(E(X)\). (0,5 pt)
5. Pour s'entraîner, l'équipe travaille sur une série de \(n\) défis du même type. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que la probabilité de rater au moins un défi soit supérieure ou égale à \(0{,}99\). (0,75 pt)