Imprime cette feuille ou enregistre-la en PDF (les énoncés d'abord, les corrigés à la fin).

Devoir maison — Suites numériques

Terminale spécialité mathématiques (programme 2019) • MathsAvecFred

Nom : ______________________ Classe : ____________ Date : ____________

Partie 1 — Énoncés

Rédige toutes les étapes. La calculatrice est autorisée mais les formules doivent apparaître.

Niveau 1 — Facile
Exercice F1. Suite arithmétique : terme général et somme
Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = 5 et de raison r = 3.
  1. Calculer u10.
  2. Calculer la somme S = u0 + u1 + … + u10.
Réponse :
Exercice F2. Suite géométrique : terme général et somme
Soit (vn) la suite géométrique de premier terme v0 = 2 et de raison q = 3.
  1. Calculer v5.
  2. Calculer la somme S = v0 + v1 + … + v5.
Réponse :
Exercice F3. Sens de variation
Pour chaque suite, indique si elle est croissante, décroissante ou constante (en justifiant).
  1. a) (an) arithmétique de raison r = −4.
  2. b) (bn) géométrique avec b0 = 3 (> 0) et q = 2.
Réponse :
Niveau 2 — Moyen
Exercice M1. Arithmétique : retrouver r et u₀
(un) est une suite arithmétique telle que u3 = 14 et u7 = 30.
  1. Déterminer la raison r.
  2. Déterminer u0.
  3. Calculer u20.
Réponse :
Exercice M2. Géométrique : retrouver q, v₀ et une somme
(vn) est une suite géométrique à termes positifs telle que v2 = 18 et v4 = 162.
  1. Déterminer la raison q (q > 0).
  2. Déterminer v0.
  3. Calculer S = v0 + v1 + … + v6.
Réponse :
Exercice M3. Récurrence : calcul de termes et variation
Soit (un) définie par u0 = 1 et, pour tout n, un+1 = 2un + 3.
  1. Calculer u1, u2 et u3.
  2. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
Réponse :
Exercice M4. Limites de qⁿ selon q
Déterminer la limite de chaque suite quand n → +∞, en justifiant par la valeur de q.
  1. a) (3/4)n
  2. b) (5/2)n
  3. c) (−3)n
Réponse :
Niveau 3 — Difficile
Exercice D1. Raisonnement par récurrence
Soit (un) définie par u0 = 3 et, pour tout n, un+1 = 2un − 1.
  1. Calculer u1 et u2.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ ℕ, un = 2n+1 + 1.
  3. En déduire u5.
Réponse :
Exercice D2. Limite et somme infinie
Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 8 et de raison q = 1/2 (donc un = 8 × (1/2)n).
  1. Déterminer la limite de un quand n → +∞.
  2. Déterminer la limite de S = u0 + u1 + … + un quand n → +∞.
Réponse :
Exercice D3. Convergence monotone
Soit (un) définie par u0 = 2 et, pour tout n, un+1 = 0,5 un + 3.
  1. Calculer u1, u2 et u3.
  2. On admet que (un) est croissante et majorée par 6. Déterminer sa limite ℓ.
Réponse :

Partie 2 — Corrigés détaillés

Niveau 1 — Facile
Corrigé F1.
1. Terme général : un = u0 + n × r. u10 = 5 + 10 × 3 = 5 + 30 = 35 2. Somme de termes consécutifs (de u0 à u10 = 11 termes) : S = (nb termes) × premier + dernier2. S = 11 × 5 + 352 = 11 × 402 = 11 × 20 = 220
Corrigé F2.
1. Terme général : vn = v0 × qn. v5 = 2 × 35 = 2 × 243 = 486 2. Somme géométrique (q ≠ 1), de v0 à v5 = 6 termes : S = v0 × 1 − q61 − q = 2 × 1 − 7291 − 3 = 2 × −728−2 = 2 × 364 = 728 Vérification : 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728. ✔
Corrigé F3.
a) Pour une suite arithmétique, le sens de variation suit le signe de r. Ici r = −4 < 0 ⇒ (an) est décroissante.
b) Pour une suite géométrique de premier terme positif, elle est croissante si q > 1. Ici b0 = 3 > 0 et q = 2 > 1 ⇒ (bn) est croissante.
Niveau 2 — Moyen
Corrigé M1.
1. De u3 à u7, on ajoute 4 fois la raison : u7 − u3 = 4r ⇒ 4r = 30 − 14 = 16 ⇒ r = 4 2. u3 = u0 + 3r ⇒ 14 = u0 + 12 ⇒ u0 = 2.
3. u20 = u0 + 20r = 2 + 20 × 4 = 2 + 80 = 82
Corrigé M2.
1. v4v2 = q2 = 16218 = 9 ⇒ q = 3 (termes positifs).
2. v2 = v0 q2 ⇒ 18 = v0 × 9 ⇒ v0 = 2.
3. De v0 à v6 = 7 termes : S = v0 × 1 − q71 − q = 2 × 1 − 21871 − 3 = 2 × −2186−2 = 2186
Corrigé M3.
1. u1 = 2 × 1 + 3 = 5 ;   u2 = 2 × 5 + 3 = 13 ;   u3 = 2 × 13 + 3 = 29 2. un+1 − un = (2un + 3) − un = un + 3. Les termes sont positifs (et u0 = 1 > −3), donc cette différence est > 0 : la suite est croissante.
Corrigé M4.
Règle pour qn : si −1 < q < 1 → 0 ; si q = 1 → 1 ; si q > 1 → +∞ ; si q ≤ −1 → pas de limite.
  • a) q = 3/4 ∈ ]−1 ; 1[ ⇒ lim = 0.
  • b) q = 5/2 > 1 ⇒ lim = +∞.
  • c) q = −3 ≤ −1 ⇒ la suite oscille : pas de limite.
Niveau 3 — Difficile
Corrigé D1.
1. u1 = 2 × 3 − 1 = 5 ;   u2 = 2 × 5 − 1 = 9.
2. Démonstration par récurrence de : un = 2n+1 + 1.
• Initialisation (n = 0) : 20+1 + 1 = 2 + 1 = 3 = u0. Vrai au rang 0.
• Hérédité : supposons un = 2n+1 + 1. Alors : un+1 = 2un − 1 = 2(2n+1 + 1) − 1 = 2n+2 + 2 − 1 = 2n+2 + 1 = 2(n+1)+1 + 1 La propriété est donc vraie au rang n+1.
• Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, un = 2n+1 + 1.
3. u5 = 26 + 1 = 64 + 1 = 65.
Corrigé D2.
1. q = 1/2 et −1 < 1/2 < 1, donc (1/2)n → 0 : lim un = 8 × 0 = 0 2. Somme infinie d'une géométrique avec |q| < 1 : S = u01 − q. lim S = 81 − 1/2 = 81/2 = 8 × 2 = 16
Corrigé D3.
1. u1 = 0,5 × 2 + 3 = 4 ;   u2 = 0,5 × 4 + 3 = 5 ;   u3 = 0,5 × 5 + 3 = 5,5 2. (un) est croissante et majorée par 6 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite réelle ℓ. La fonction f(x) = 0,5x + 3 étant continue, ℓ vérifie ℓ = f(ℓ) : ℓ = 0,5ℓ + 3 ⇒ 0,5ℓ = 3 ⇒ ℓ = 6

Besoin d'aide sur ce devoir ?
On le corrige ensemble en visio, en petit groupe (max 3 élèves).

Réserver un cours avec Fred