Maths Contenu réservé à la formation Terminale
Les contrôles de fin de chapitre (9 contrôles notés /20 avec corrigés détaillés) font partie de la formation Terminale.
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🚀 Découvrir les formations📋 Contrôle — Limites et continuité de fonctions
Exercice 1 — Calculs de limites (7 points)
Calculer les limites suivantes en justifiant soigneusement chaque étape (nature de la forme indéterminée éventuelle, méthode utilisée).
- Déterminer \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{2}-5}{x^{2}+4}\).
- Déterminer \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(5x^{2}-2x^{4}\right)\).
- Déterminer \(\lim\limits_{x\to 3^{-}}\dfrac{2x+1}{x-3}\).
Exercice 2 — Asymptotes et continuité (7 points)
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-2\,;+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}\), et \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=\dfrac{x^{2}-25}{x-5}\) si \(x\neq 5\) et \(h(5)=m\), où \(m\) est un réel.
- Déterminer \(\lim\limits_{x\to (-2)^{+}}g(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
- Déterminer \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\) et en déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera l'équation.
- Déterminer la valeur de \(m\) pour laquelle \(h\) est continue en \(5\). Justifier.
Exercice 3 — Théorème des valeurs intermédiaires (6 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{3}+3x-7\).
- Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
- Démontrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), et que \(\alpha\in\,]1\,;2[\).
- À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-1}\).
📋 Contrôle — Dérivation et convexité
Exercice 1 — Dérivées de fonctions composées (7 points)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant la formule utilisée.
- \(f(x)=(3x-2)^{4}\) sur \(\mathbb{R}\).
- \(g(x)=\sqrt{x^{2}+9}\) sur \(\mathbb{R}\).
- \(h(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 2 — Convexité d'une fonction polynôme (7 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+5x+2\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.
- Calculer \(f'(x)\) puis \(f''(x)\).
- Étudier la convexité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et montrer que \(\mathcal{C}_f\) admet un point d'inflexion dont on donnera les coordonnées.
- Déterminer une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(2\), puis préciser la position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(T\).
Exercice 3 — Convexité et inégalité (6 points)
Dans cet exercice, on utilise la propriété : la courbe d'une fonction convexe sur un intervalle est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
- Justifier que la fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse \(0\), puis en déduire que pour tout réel \(x\), \(e^{x}\ge 1+x\).
- Soit \(g(x)=x^{4}-4x^{3}\) définie sur \(\mathbb{R}\). Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe de \(g\) et leurs coordonnées.
📋 Contrôle — Fonction logarithme népérien
Exercice 1 — Calculs et équations (7 points)
Les questions sont indépendantes. On justifiera chaque réponse (ensemble de définition compris).
- Écrire \(\ln 12+\ln 3-\ln 4\) sous la forme \(a\ln b\) avec \(a\) et \(b\) entiers.
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\ln(2x)=\ln(x+7)\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\ln x=3\).
- Calculer la dérivée de \(f(x)=\ln(5x+2)\) sur \(\left]-\dfrac{2}{5}\,;+\infty\right[\).
Exercice 2 — Étude de fonction (7 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln x\).
- Déterminer les limites de \(f\) en \(0^{+}\) et en \(+\infty\).
- Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations de \(f\) (valeur du minimum comprise).
- En déduire que pour tout \(x>0\), on a \(2\ln x
Exercice 3 — Équation et inéquation (6 points)
Les deux questions sont indépendantes.
- Résoudre dans \(]0\,;+\infty[\) l'équation \((\ln x)^{2}-5\ln x+6=0\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(\ln(x-1)\le\ln(7-x)\).
📋 Contrôle — Fonction exponentielle (Terminale)
Exercice 1 — Équations, dérivée, limite (7 points)
Les questions sont indépendantes.
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{4x}=e^{x+6}\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(2e^{x}=14\).
- Calculer la dérivée de \(f(x)=e^{3x+2}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminer \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{2}e^{x}\).
Exercice 2 — Équation du second degré et étude de fonction (7 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x+1)\,e^{x}\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{2x}-5e^{x}+6=0\).
- Calculer \(f'(x)\), dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) (limites en \(-\infty\) et \(+\infty\), extremum), et interpréter graphiquement la limite en \(-\infty\).
Exercice 3 — Modélisation : décroissance exponentielle (6 points)
Après une injection, la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient est modélisée par \(N(t)=200\,e^{-0{,}05t}\), où \(N(t)\) est exprimée en milligrammes et \(t\) en heures (\(t\ge 0\)).
- Calculer la quantité de médicament présente à l'instant de l'injection.
- Calculer \(N'(t)\) et en déduire le sens de variation de \(N\) sur \([0\,;+\infty[\). Interpréter.
- Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à \(0{,}1\) h près de l'instant \(t\) où la quantité a diminué de moitié.
📋 Contrôle — Primitives et intégration
Exercice 1 — Primitives (7 points)
Les questions sont indépendantes. On donnera à chaque fois l'ensemble des primitives, sauf indication contraire.
- Déterminer les primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x)=3x^{2}-4x+5\).
- Déterminer LA primitive \(F\) de \(f\) (question 1) telle que \(F(1)=2\).
- Déterminer les primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(g(x)=e^{2x}\).
- Déterminer les primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(h(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+3}\).
Exercice 2 — Calculs d'intégrales (7 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-2x+3\).
- Calculer \(I=\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\,dx\).
- En déduire la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;3]\).
- Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions continues sur \([2\,;6]\) telles que \(\displaystyle\int_{2}^{6}u(x)\,dx=10\) et \(\displaystyle\int_{2}^{6}v(x)\,dx=4\). Calculer \(\displaystyle\int_{2}^{6}\left(3u(x)-2v(x)\right)dx\).
Exercice 3 — Aire entre deux courbes (6 points)
Dans un repère orthonormé (unité d'aire notée u.a.), on considère les fonctions \(f(x)=x+2\) et \(g(x)=x^{2}\) sur l'intervalle \([0\,;2]\).
- Montrer que pour tout \(x\in[0\,;2]\), on a \(x+2\ge x^{2}\).
- Calculer l'aire, en u.a., du domaine compris entre les deux courbes pour \(x\in[0\,;2]\).
📋 Contrôle — Probabilités conditionnelles (Terminale)
Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilités totales (7 points)
Une entreprise fabrique des pièces dans deux ateliers. L'atelier \(A\) produit \(60\,\%\) des pièces et l'atelier \(B\) le reste. \(5\,\%\) des pièces de l'atelier \(A\) sont défectueuses, contre \(8\,\%\) pour l'atelier \(B\). On prélève une pièce au hasard dans la production ; on note \(D\) l'événement « la pièce est défectueuse ».
- Construire l'arbre pondéré de la situation et calculer \(P(A\cap D)\).
- Montrer que \(P(D)=0{,}062\).
- La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'atelier \(A\) ? (Valeur exacte en fraction, puis arrondi au millième.)
Exercice 2 — Indépendance (7 points)
On tire une carte au hasard dans un jeu de \(32\) cartes. On considère les événements : \(A\) : « la carte est un roi », \(B\) : « la carte est un trèfle », \(C\) : « la carte est rouge ».
- Donner \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(C)\).
- Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.
- Les événements \(B\) et \(C\) sont-ils indépendants ? Que peut-on dire en général de deux événements incompatibles de probabilités non nulles ?
Exercice 3 — Test de dépistage (6 points)
Dans une population, \(1\,\%\) des individus sont porteurs d'une maladie. Un test de dépistage est positif chez \(90\,\%\) des porteurs et chez \(6\,\%\) des non-porteurs. On note \(M\) « être porteur » et \(T\) « le test est positif ». Un individu est choisi au hasard.
- Montrer que \(P(T)=0{,}0684\).
- Le test d'un individu est positif. Calculer la probabilité qu'il soit réellement porteur (valeur exacte en fraction, puis arrondi au millième).
- Commenter ce résultat : le test positif suffit-il à conclure que l'individu est porteur ?
📋 Contrôle — Loi binomiale
Exercice 1 — Tir à l'arc (7 points)
Un archer atteint la cible avec une probabilité de \(0{,}7\) à chaque tir. Il effectue \(8\) tirs, supposés indépendants. On note \(X\) le nombre de tirs qui atteignent la cible.
- Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer \(P(X=8)\) (arrondi au dix-millième).
- Calculer \(P(X=6)\) (arrondi au millième), puis donner \(E(X)\) et \(V(X)\).
Exercice 2 — QCM au hasard (7 points)
Un QCM comporte \(10\) questions ; chaque question propose \(4\) réponses dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au hasard. On note \(X\) le nombre de bonnes réponses.
- Donner la loi de \(X\) et ses paramètres.
- Calculer \(P(X=3)\) (arrondi au millième).
- Calculer \(P(X\ge 1)\) (arrondi au millième).
- Calculer \(E(X)\) et interpréter ce résultat.
Exercice 3 — Nombre minimal d'épreuves (6 points)
À un jeu, la probabilité de gagner à chaque partie est \(0{,}1\), les parties étant indépendantes. On joue \(n\) parties et on note \(Y\) le nombre de parties gagnées, de sorte que \(Y\sim\mathcal{B}(n\,;\,0{,}1)\).
- Exprimer \(P(Y\ge 1)\) en fonction de \(n\).
- Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(P(Y\ge 1)\ge 0{,}95\).
📋 Contrôle — Loi normale et échantillonnage
Exercice 1 — Loi normale centrée réduite (7 points)
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0\,;1)\). On donne : \(P(Z\le 1{,}5)\approx 0{,}933\) et \(P(Z\le 0{,}5)\approx 0{,}691\).
- Calculer \(P(Z\ge 1{,}5)\).
- Calculer \(P(Z\le -1{,}5)\) en justifiant.
- Calculer \(P(-1{,}5\le Z\le 1{,}5)\) puis \(P(0{,}5\le Z\le 1{,}5)\).
Exercice 2 — Standardisation (7 points)
Une machine conditionne des sachets dont la masse \(X\), en grammes, suit la loi normale \(\mathcal{N}(75\,;\,16)\) d'espérance \(\mu=75\) et de variance \(\sigma^{2}=16\) (donc \(\sigma=4\)). On donne : \(P(Z\le 1)\approx 0{,}841\) et \(P(Z\le 2)\approx 0{,}977\) pour \(Z\sim\mathcal{N}(0\,;1)\).
- Calculer \(P(X\le 83)\).
- Calculer \(P(X\ge 71)\).
- Donner un intervalle, centré en \(\mu\), contenant environ \(95\,\%\) des masses de sachets.
Exercice 3 — Intervalle de fluctuation (6 points)
Une plateforme affirme que \(40\,\%\) de ses abonnés utilisent son application mobile (\(p=0{,}4\)). On interroge un échantillon aléatoire de \(n=150\) abonnés : \(74\) déclarent utiliser l'application. On rappelle l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \(95\,\%\) : \(I=\left[\,p-1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\;;\;p+1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,\right]\).
- Vérifier que les conditions d'utilisation de cet intervalle sont remplies.
- Calculer l'intervalle \(I\) (bornes arrondies au dix-millième).
- La fréquence observée est-elle compatible avec l'affirmation de la plateforme, au seuil de \(5\,\%\) ? Conclure.
📋 Contrôle — Géométrie dans l'espace
Exercice 1 — Produit scalaire dans l'espace (7 points)
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \(A(2\,;-1\,;3)\), \(B(4\,;1\,;2)\) et \(C(3\,;-2\,;3)\).
- Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
- Calculer \(AB\) et \(AC\), puis l'aire du triangle \(ABC\).
Exercice 2 — Plan et vecteur normal (7 points)
Dans un repère orthonormé, soit \(P\) le plan passant par \(A(3\,;0\,;-2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}\,(2\,;-1\,;4)\).
- Déterminer une équation cartésienne de \(P\).
- Le point \(B(1\,;4\,;0)\) appartient-il à \(P\) ?
- Soit \(d\) la droite passant par \(C(0\,;0\,;1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\,(1\,;2\,;0)\). Étudier la position relative de \(d\) et \(P\).
Exercice 3 — Intersection et projeté orthogonal (6 points)
Dans un repère orthonormé, on considère le plan \(Q\) d'équation \(x+2y+z-13=0\) et la droite \(d\) de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=2+t\\ y=-1+3t\\ z=1-t\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\).
- Montrer que \(d\) et \(Q\) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection \(I\).
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) du point \(M(3\,;1\,;2)\) sur le plan \(Q\), puis la distance de \(M\) à \(Q\).