Maths Contenu réservé à la formation Première
Les contrôles de fin de chapitre (10 contrôles notés /20 avec corrigés détaillés) font partie de la formation Première.
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Exercice 1 — Application directe : suite arithmétique (7 points)
On considère la suite arithmétique \((u_n)\) de premier terme \(u_0 = 7\) et de raison \(r = -3\).
- Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Calculer \(u_{20}\).
- Déterminer le sens de variation de la suite \((u_n)\). Justifier.
- Calculer la somme \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}\).
Exercice 2 — Intermédiaire : modéliser une évolution par une suite géométrique (7 points)
Une ville compte \(40\,000\) habitants au 1er janvier 2026. Sa population augmente de \(2\,\%\) par an. On note \(P_n\) le nombre d'habitants au 1er janvier de l'année \(2026 + n\), donc \(P_0 = 40\,000\).
- Justifier que la suite \((P_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
- Exprimer \(P_n\) en fonction de \(n\).
- Calculer la population prévue au 1er janvier 2031, arrondie à l'unité.
- Quel est le taux d'évolution global de la population entre 2026 et 2031 ? Donner le résultat en pourcentage, arrondi à \(0{,}1\,\%\).
Exercice 3 — Approfondissement : comportement d'une suite et somme géométrique (6 points)
On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = 4 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\).
- Calculer \(v_0\), \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
- Étudier le sens de variation de la suite \((v_n)\).
- Conjecturer la limite de la suite \((v_n)\).
- Calculer la somme \(T = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{0} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1} + \dots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{8}\). Donner la valeur exacte sous forme de fraction, puis une valeur approchée au millième.
📋 Contrôle — Second degré
Exercice 1 — Application directe : équation et signe (7 points)
On considère la fonction polynôme du second degré définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x^2 - 5x - 3\).
- Calculer le discriminant \(\Delta\).
- Résoudre l'équation \(f(x) = 0\).
- Donner la forme factorisée de \(f(x)\).
- Dresser le tableau de signes de \(f\) et résoudre l'inéquation \(f(x) < 0\).
Exercice 2 — Intermédiaire : forme canonique et extremum (7 points)
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^2 + 4x - 12\).
- En utilisant la méthode de complétion du carré, montrer que \(g(x) = (x+2)^2 - 16\) pour tout réel \(x\).
- En déduire les solutions de l'équation \(g(x) = 0\).
- Justifier que \(g\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\), préciser sa valeur et en quel réel il est atteint.
- Résoudre l'inéquation \(g(x) \geq 0\).
Exercice 3 — Approfondissement : problème de mise en équation (6 points)
Un jardin rectangulaire a un périmètre de \(36\) m et une aire de \(65\) m². On note \(L\) sa longueur et \(\ell\) sa largeur (en mètres).
- Justifier que \(L + \ell = 18\), puis montrer que \(L\) est solution de l'équation \(x^2 - 18x + 65 = 0\).
- Résoudre l'équation \(x^2 - 18x + 65 = 0\).
- En déduire les dimensions du jardin.
- Avec le même périmètre de \(36\) m, peut-on obtenir un jardin rectangulaire d'aire \(85\) m² ? Justifier.
📋 Contrôle — Dérivation
Exercice 1 — Application directe : calculs de dérivées (7 points)
Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant les règles utilisées.
- \(f(x) = 3x^2 - 7x + 2\) sur \(\mathbb{R}\).
- \(g(x) = x^3 + 4\sqrt{x}\) sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\).
- \(h(x) = (2x+1)(x^2-3)\) sur \(\mathbb{R}\) (utiliser la dérivée d'un produit).
- \(k(x) = \dfrac{5}{x}\) sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\).
Exercice 2 — Intermédiaire : tangente et approximation linéaire (7 points)
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 3x + 1\), de courbe représentative \(\mathcal{C}_f\).
- Calculer \(f'(x)\).
- Déterminer l'équation réduite de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a = 2\).
- À l'aide de l'approximation \(f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h\), donner une valeur approchée de \(f(2{,}03)\).
- Étudier le signe de \(f(x) - (x - 3)\) et en déduire la position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(T\).
Exercice 3 — Approfondissement : variations et extremums (6 points)
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 2\).
- Calculer \(f'(x)\) et vérifier que \(f'(x) = 3(x-1)(x-5)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
- En déduire les extremums locaux de \(f\) (nature, valeur, abscisse).
📋 Contrôle — Fonction exponentielle
Exercice 1 — Application directe : propriétés algébriques et dérivées (6 points)
Les questions sont indépendantes.
- Simplifier \(A = \dfrac{e^{4} \times e^{-7}}{e^{-1}}\).
- Simplifier \(B = \left(e^{3x}\right)^{2} \times e^{-5x}\).
- Dériver \(f(t) = e^{2t}\).
- Dériver \(g(t) = 5e^{-0{,}4t}\).
Exercice 2 — Intermédiaire : équations, inéquations et signe (7 points)
On rappelle que la fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur \(\mathbb{R}\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{3x+2} = e^{5-x}\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{2x} = 1\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(e^{x+4} > e^{2x-1}\).
- Étudier, selon les valeurs de \(x\), le signe de \((x-2)\,e^{x}\).
Exercice 3 — Approfondissement : modéliser une décroissance exponentielle (7 points)
Après la prise d'un médicament, la masse de substance active présente dans le sang d'un patient est modélisée par \(m(t) = 8e^{-0{,}25t}\), où \(t\) est le temps écoulé en heures et \(m(t)\) la masse en mg.
- Quelle masse de substance active est présente à l'instant initial ?
- Calculer \(m'(t)\) et en déduire le sens de variation de \(m\) sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\).
- Calculer la masse présente au bout de \(4\) heures, arrondie au centième de mg.
- Montrer que \(\dfrac{m(t+1)}{m(t)} = e^{-0{,}25}\) pour tout \(t \geq 0\), puis interpréter ce résultat (on donnera le pourcentage d'évolution horaire arrondi à l'unité).
📋 Contrôle — Produit scalaire
Exercice 1 — Application directe : calculs en repère orthonormé (7 points)
Dans un repère orthonormé du plan, on donne les vecteurs \(\vec{u}\,(4\,;\,-1)\) et \(\vec{v}\,(2\,;\,6)\).
- Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
- Calculer \(\lVert\vec{u}\rVert\) et \(\lVert\vec{v}\rVert\) (valeurs exactes simplifiées).
- Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils orthogonaux ? Justifier.
- Déterminer le réel \(t\) pour que le vecteur \(\vec{w}\,(t\,;\,3)\) soit orthogonal à \(\vec{u}\).
Exercice 2 — Intermédiaire : formule d'Al-Kashi (7 points)
Les deux triangles étudiés sont indépendants. On rappelle la formule d'Al-Kashi : dans un triangle \(ABC\), \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos\widehat{A}\).
- Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB = 6\), \(AC = 4\) et \(\widehat{A} = 45^\circ\). Calculer la valeur exacte de \(BC^2\), puis \(BC\) arrondi au centième.
- Dans un triangle \(MNP\), on donne \(MN = 5\), \(MP = 8\) et \(NP = 7\). Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{M}\).
- En déduire la valeur du produit scalaire \(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP}\).
Exercice 3 — Approfondissement : ensemble des points M tels que MA·MB = 0 (6 points)
Dans un repère orthonormé, on donne \(A\,(-2\,;\,1)\) et \(B\,(4\,;\,3)\). On note \(\mathcal{E}\) l'ensemble des points \(M\,(x\,;\,y)\) du plan tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
- Montrer que \(M\,(x\,;\,y) \in \mathcal{E}\) équivaut à \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 10\).
- En déduire la nature de \(\mathcal{E}\) et vérifier la cohérence avec le cours (cercle de diamètre \([AB]\)).
- Le point \(C\,(2\,;\,5)\) appartient-il à \(\mathcal{E}\) ? Que peut-on en déduire pour le triangle \(ACB\) ?
📋 Contrôle — Géométrie repérée
Exercice 1 — Application directe : droites et vecteurs normaux (7 points)
Dans un repère orthonormé, on considère la droite \(d\) d'équation cartésienne \(3x + 2y - 12 = 0\).
- Donner un vecteur normal à \(d\).
- Le point \(A\,(2\,;\,3)\) appartient-il à \(d\) ? Justifier.
- Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d'\) passant par \(B\,(1\,;\,-2)\) et de vecteur normal \(\vec{m}\,(5\,;\,-1)\).
- Les droites \(d\) et \(d'\) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
Exercice 2 — Intermédiaire : équations de cercles (7 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
- Donner une équation du cercle \(\mathcal{C}_1\) de centre \(\Omega\,(3\,;\,-1)\) et de rayon \(5\).
- Montrer que l'équation \(x^2 + y^2 - 8x + 4y - 5 = 0\) est celle d'un cercle \(\mathcal{C}_2\) dont on précisera le centre et le rayon.
- Le point \(K\,(8\,;\,1)\) appartient-il à \(\mathcal{C}_2\) ? Justifier.
Exercice 3 — Approfondissement : projeté orthogonal et distance (6 points)
Dans un repère orthonormé, on considère la droite \(d\) d'équation \(x - 2y + 6 = 0\) et le point \(M\,(3\,;\,1)\). On cherche le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(d\).
- Donner un vecteur normal \(\vec{n}\) à \(d\) et expliquer pourquoi \(H\) peut s'écrire \(H\,(3+t\,;\,1-2t)\) pour un certain réel \(t\).
- Déterminer les coordonnées de \(H\).
- En déduire la distance \(MH\) (valeur exacte puis arrondie au centième).
📋 Contrôle — Trigonométrie
Exercice 1 — Application directe : radians, cercle et valeurs remarquables (7 points)
Les questions sont indépendantes.
- Convertir \(135^\circ\) en radians, puis \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad en degrés.
- Donner les valeurs exactes de \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) et \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\).
- Sur le cercle trigonométrique, quel point est l'image du réel \(\dfrac{13\pi}{6}\) ? En déduire \(\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)\) et \(\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)\).
- Calculer la longueur de l'arc de cercle de rayon \(4\) intercepté par un angle au centre de \(\dfrac{2\pi}{3}\) rad (valeur exacte).
Exercice 2 — Intermédiaire : relation fondamentale et angles associés (7 points)
On considère un réel \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\) tel que \(\cos x = -\dfrac{3}{5}\).
- Calculer la valeur exacte de \(\sin x\).
- En déduire les valeurs exactes de \(\cos(\pi + x)\) et \(\sin(-x)\).
- Simplifier l'expression \(C = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \cos(-x) - \cos(\pi - x)\), puis calculer sa valeur pour le réel \(x\) de l'énoncé.
Exercice 3 — Approfondissement : cercle trigonométrique et angles associés (6 points)
Les questions utilisent le placement sur le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables et les angles associés — sans résolution d'équation.
- Donner les valeurs exactes de \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) et \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\), puis celles de \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) et \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) en utilisant les angles associés.
- Les points du cercle associés à \(-\dfrac{\pi}{6}\) et à \(-\dfrac{5\pi}{6}\) ont-ils le même sinus ? Justifier à l'aide du cercle (symétrie), puis vérifier avec les angles associés.
- Existe-t-il un réel \(x\) vérifiant à la fois \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) et \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) ? Justifier sans calculatrice.
📋 Contrôle — Variables aléatoires
Exercice 1 — Application directe : loi, espérance, variance, écart type (7 points)
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(-2\), \(0\), \(3\) et \(5\) avec les probabilités suivantes :
\(P(X=-2) = 0{,}1\) ; \(P(X=0) = 0{,}4\) ; \(P(X=3) = 0{,}3\) ; \(P(X=5) = 0{,}2\).
- Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
- Calculer l'espérance \(E(X)\).
- Calculer la variance \(V(X)\) à l'aide de la formule de König-Huygens.
- En déduire l'écart type \(\sigma(X)\), arrondi au centième.
Exercice 2 — Intermédiaire : loi, espérance et König-Huygens (6 points)
La température relevée à midi dans une ville, en degrés Celsius, est modélisée par une variable aléatoire \(T\) dont la loi est :
\(P(T=9)=0{,}25\), \(P(T=12)=0{,}5\), \(P(T=15)=0{,}25\).
La température en degrés Fahrenheit est donnée par \(F = 1{,}8\,T + 32\).
- Calculer \(E(T)\), puis en déduire \(E(F)\) par linéarité de l'espérance.
- Calculer \(E(T^2)\), puis \(V(T)\) à l'aide de la formule de König-Huygens.
- Déterminer la loi de \(F\), calculer \(E(F^2)\) puis \(V(F)\) par König-Huygens. Que remarque-t-on en comparant \(V(F)\) et \(V(T)\) ?
Exercice 3 — Approfondissement : jeu équitable (7 points)
Une association organise un jeu de fête foraine. Le joueur paie une mise, puis fait tourner une roue qui lui rapporte un gain brut : \(12\) € avec la probabilité \(0{,}1\), \(3\) € avec la probabilité \(0{,}3\), et \(0\) € sinon. On note \(G\) le gain net du joueur (gain brut moins la mise).
- Pour une mise de \(3\) €, donner la loi de probabilité de \(G\).
- Calculer \(E(G)\) et interpréter le résultat.
- Quelle mise \(m\) faudrait-il demander pour que le jeu soit équitable ?
📋 Contrôle — Probabilités conditionnelles
Exercice 1 — Application directe : arbre pondéré et probabilités totales (7 points)
Une usine fabrique des pièces à l'aide de deux machines. La machine \(M_1\) produit \(60\,\%\) des pièces, la machine \(M_2\) produit les \(40\,\%\) restants. Parmi les pièces produites par \(M_1\), \(5\,\%\) sont défectueuses ; parmi celles produites par \(M_2\), \(2\,\%\) sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard et on note \(D\) l'évènement « la pièce est défectueuse ».
- Recopier et compléter l'arbre pondéré décrivant la situation (branches \(M_1\), \(M_2\), puis \(D\), \(\overline{D}\)).
- Calculer \(P(M_1 \cap D)\).
- Montrer que \(P(D) = 0{,}038\).
- La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine \(M_1\) ? (Valeur exacte en fraction, puis arrondie au centième.)
Exercice 2 — Intermédiaire : indépendance de deux évènements (6 points)
Soient \(A\) et \(B\) deux évènements tels que \(P(A) = 0{,}45\), \(P(B) = 0{,}6\) et \(P(A \cap B) = 0{,}27\).
- Calculer \(P_B(A)\).
- Les évènements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier de deux manières.
- Calculer \(P(A \cup B)\).
Exercice 3 — Approfondissement : répétition d'épreuves de Bernoulli (7 points)
Léa participe à un tournoi de jeu vidéo. À chaque manche, sa probabilité de victoire est \(0{,}6\), et les manches sont supposées indépendantes. Elle joue \(3\) manches. On note \(V\) une victoire et \(\overline{V}\) une défaite.
- Représenter la situation par un arbre. Combien de chemins comporte-t-il ?
- Calculer la probabilité que Léa gagne les \(3\) manches.
- Calculer la probabilité qu'elle gagne exactement \(2\) manches.
- Calculer la probabilité qu'elle gagne au moins une manche.
📋 Contrôle — Suites et limites
Exercice 1 — Application directe : calculs de limites (7 points)
Déterminer la limite de chacune des suites suivantes lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), en justifiant.
- \(u_n = 5 - \dfrac{3}{n^2}\) (pour \(n \geq 1\)).
- \(v_n = \dfrac{2n^2 + 3n - 1}{4n^2 + 5}\).
- \(w_n = n^3 - 8n\).
- \(a_n = (0{,}6)^n\) puis \(b_n = 3 \times 1{,}5^n\).
Exercice 2 — Intermédiaire : théorèmes d'encadrement et de comparaison (7 points)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on pose \(u_n = \dfrac{5 + (-1)^n}{n^2}\) et \(v_n = n^2 + (-1)^n\).
- Justifier que pour tout \(n \geq 1\) : \(4 \leq 5 + (-1)^n \leq 6\).
- En déduire un encadrement de \(u_n\), puis la limite de la suite \((u_n)\).
- Montrer que \(v_n \geq n^2 - 1\) pour tout \(n \geq 1\), et en déduire la limite de la suite \((v_n)\).
Exercice 3 — Approfondissement : suite arithmético-géométrique (6 points)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 3\). On pose \(v_n = u_n - 15\).
- Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
- Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
- En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).