Quel événement placer au premier niveau de l'arbre pondéré ?

Celui dont l'énoncé donne la probabilité « brute », non conditionnelle. Quand l'énoncé dit « parmi les X, y % vérifient... », c'est X qui va au premier niveau et la probabilité conditionnelle sur la branche du second niveau.

Peut-on utiliser la calculatrice pour ces exercices à l'épreuve anticipée ?

Non, l'épreuve anticipée de mathématiques se déroule entièrement sans calculatrice. Les sujets utilisent donc des valeurs simples (décimaux, fractions) et fournissent parfois une aide au calcul. Il faut s'entraîner à multiplier et additionner des décimaux à la main.

Accueil › Guides › Probabilités conditionnelles en Première

Probabilités conditionnelles en Première : la méthode de l'arbre pondéré pas à pas

Q: Les probabilités conditionnelles tombent-elles à l'épreuve anticipée de maths ?

Oui, elles font partie du programme évaluable. Le chapitre « Probabilités conditionnelles et indépendance » figure au programme de spécialité maths de Première, les sujets zéro officiels publiés sur Eduscol contiennent des exercices complets avec arbre pondéré et probabilités totales, et à la première session (12 juin 2026) l'exercice 1 du sujet de spécialité portait précisément sur les probabilités conditionnelles.

Q: Comment calculer P_B(A) quand l'arbre donne P_A(B) ?

On ne lit jamais un arbre « à l'envers ». On revient à la définition : P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B). L'intersection se calcule avec la règle du produit sur le chemin, et P(B) avec la formule des probabilités totales. C'est la méthode dite d'inversion du conditionnement.

Les probabilités conditionnelles sont l'un des chapitres les plus rentables de la Première : les exercices se ressemblent tous, et une seule méthode — l'arbre pondéré — permet de traiter 90 % des questions. C'est aussi un chapitre présent dans les sujets zéro officiels de l'épreuve anticipée de maths — et il est tombé dès la première session, le 12 juin 2026, en exercice 1 du sujet de spécialité. Je suis professeur de maths : voici la méthode exacte que je donne à mes élèves, avec un exemple corrigé pas à pas et les erreurs qui coûtent des points.

règles d'arbre à connaître

2 h

d'épreuve, sans calculatrice

Coef 2

au bac + dossier Parcoursup

erreurs classiques à éviter

Ce que dit le programme officiel. Le chapitre « Probabilités conditionnelles et indépendance » du programme de spécialité maths de Première (BO spécial n° 1 du 22 janvier 2019) demande explicitement de savoir : construire un arbre pondéré, l'utiliser pour calculer une probabilité (règle du produit, règle de la somme), appliquer la formule des probabilités totales dans des cas simples, et distinguer P_A(B) de P_B(A), par exemple dans des situations de « faux positifs ». Tout ce qui suit colle à cette liste — rien de plus, rien de moins.

La probabilité conditionnelle en clair

La probabilité conditionnelle répond à la question : « sachant que A s'est réalisé, quelle est la probabilité que B se réalise ? » On la note P_A(B) — c'est la notation du programme, certains manuels écrivent aussi P(B|A). Sa définition, à connaître par cœur :

P_A(B) = P(A ∩ B) ⁄ P(A), avec P(A) ≠ 0

L'idée intuitive : on « réduit l'univers » aux seuls cas où A est vrai, et on regarde la part de B dans ce nouvel univers. C'est pour ça que le mot « parmi » dans un énoncé annonce presque toujours une probabilité conditionnelle : « parmi les demi-pensionnaires, 75 % font du sport » se traduit par P_D(S) = 0,75 — et surtout pas par P(D ∩ S) = 0,75.

L'arbre pondéré : les 3 règles qui font tout

L'arbre pondéré représente la situation en deux niveaux : au premier niveau, les probabilités « brutes » (non conditionnelles) ; au second niveau, les probabilités conditionnelles. Trois règles suffisent ensuite pour tout calculer :

Règle des nœuds : la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut 1. C'est votre outil de vérification permanent — et il permet de compléter les branches manquantes (P_A(B) = 1 − P_A(B)).
Règle du produit : la probabilité d'un chemin (de la racine à une feuille) est le produit des probabilités rencontrées sur ses branches : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
Règle de la somme : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent. Appliquée à une partition {A, A} de l'univers, elle donne la formule des probabilités totales :

P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) + P(A) × P_A(B)

La méthode pas à pas sur un exemple type épreuve anticipée

Énoncé. Dans un lycée, 60 % des élèves de Première sont demi-pensionnaires. Parmi les demi-pensionnaires, 75 % pratiquent une activité sportive ; parmi les externes, 40 % en pratiquent une. On choisit un élève au hasard. On note D : « l'élève est demi-pensionnaire » et S : « l'élève pratique une activité sportive ».

1Traduire l'énoncé en probabilités. « 60 % des élèves » est une probabilité brute : P(D) = 0,6, donc P(D) = 0,4 (règle des nœuds). « Parmi les demi-pensionnaires, 75 %… » est conditionnelle : P_D(S) = 0,75. De même P_D(S) = 0,40. Cette étape de traduction rapporte des points à elle seule : écrivez-la toujours.

2Construire l'arbre. D au premier niveau (probabilité brute connue), S au second (probabilités conditionnelles). On complète les branches manquantes avec la règle des nœuds :

        0,60     ┌── 0,75 ── S    P(D ∩ S) = 0,60 × 0,75 = 0,45
   ┌────────── D ┤
   │             └── 0,25 ── S    P(D ∩ S) = 0,60 × 0,25 = 0,15
 ● ┤
   │             ┌── 0,40 ── S    P(D ∩ S) = 0,40 × 0,40 = 0,16
   └────────── D ┤
        0,40     └── 0,60 ── S    P(D ∩ S) = 0,40 × 0,60 = 0,24

Vérification immédiate : 0,45 + 0,15 + 0,16 + 0,24 = 1. Si la somme des feuilles ne fait pas 1, une erreur s'est glissée quelque part.

3Calculer une intersection (règle du produit). Probabilité que l'élève soit demi-pensionnaire et sportif : P(D ∩ S) = P(D) × P_D(S) = 0,60 × 0,75 = 0,45.

4Appliquer la formule des probabilités totales. Probabilité que l'élève soit sportif : {D, D} forme une partition de l'univers, donc P(S) = P(D ∩ S) + P(D ∩ S) = 0,45 + 0,16 = 0,61.

5Inverser le conditionnement. L'élève choisi est sportif : quelle est la probabilité qu'il soit demi-pensionnaire ? On ne lit jamais l'arbre à l'envers — on revient à la définition : P_S(D) = P(D ∩ S) ⁄ P(S) = 0,45 ⁄ 0,61 = 45⁄61 ≈ 0,74. Et on conclut par une phrase : « La probabilité que l'élève soit demi-pensionnaire sachant qu'il est sportif est d'environ 0,74. »

Cette trame — traduire, construire, produit, somme, inversion — est exactement celle des exercices d'examen. L'un des sujets zéro officiels de l'épreuve anticipée publiés sur Eduscol (voie générale) suit ce schéma à l'identique : lecture de probabilités conditionnelles dans l'énoncé, arbre, intersection, probabilité totale, puis inversion du conditionnement pour tester une « intuition » du personnage de l'énoncé. Et à la première session réelle, le 12 juin 2026, l'exercice 1 du sujet de spécialité (5 points) portait précisément sur les probabilités conditionnelles, autour d'une location de bicyclettes et de la souscription d'une assurance.

📥 Le réflexe avant l'épreuve

Toutes les formules essentielles de Première (dont celles de ce chapitre) tiennent sur 1 page PDF gratuite — et pour préparer le bac en Terminale, il y a le Pack Réussite (9,90 €) : 6 fiches + 15 exercices corrigés type bac.

Recevoir la fiche gratuite Voir le Pack Bac Maths →

Le piège n° 1 : P_A(B) n'est pas P_B(A)

C'est LE piège du chapitre, au point que le programme officiel demande explicitement de savoir les distinguer « par exemple dans des situations de type faux positifs ». Illustration classique avec un test de dépistage : dans une population, 2 % des individus sont malades (M). Le test détecte un malade dans 95 % des cas : P_M(T) = 0,95. Mais il se déclenche à tort chez 5 % des personnes saines : P_M(T) = 0,05.

Quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ? Règle du produit puis probabilités totales :

P(M ∩ T) = 0,02 × 0,95 = 0,019
P(M ∩ T) = 0,98 × 0,05 = 0,049
P(T) = 0,019 + 0,049 = 0,068
P_T(M) = 0,019 ⁄ 0,068 = 19⁄68 ≈ 0,28

Résultat contre-intuitif : alors que le test « détecte 95 % des malades », une personne testée positive n'a qu'environ 28 % de risque d'être réellement malade — parce que les faux positifs, prélevés sur les 98 % de personnes saines, sont plus nombreux que les vrais positifs. P_M(T) = 0,95 et P_T(M) ≈ 0,28 : deux probabilités radicalement différentes. Un exercice qui vous fait constater ce genre d'écart est quasiment toujours un exercice d'inversion du conditionnement.

Indépendance : ce que ça change sur l'arbre

Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B) — autrement dit, si P(A) ≠ 0, lorsque P_A(B) = P(B) : savoir que A s'est réalisé ne change rien à la probabilité de B. Exemple : on lance un dé équilibré à six faces. A : « obtenir un nombre pair » (P(A) = 1⁄2), B : « obtenir un multiple de 3 » (P(B) = 2⁄6 = 1⁄3). Or A ∩ B = {6}, donc P(A ∩ B) = 1⁄6 = 1⁄2 × 1⁄3 : A et B sont indépendants.

Sur un arbre, l'indépendance se voit d'un coup d'œil : les branches du second niveau portent les mêmes probabilités quelle que soit la branche du premier niveau. C'est le cas typique de la succession de deux épreuves indépendantes (deux lancers, deux tirages avec remise) : dans ce cas, les poids du second niveau sont simplement les probabilités de la seconde épreuve — l'indépendance fait que le conditionnement ne change rien. À l'inverse, un tirage sans remise crée de la dépendance : le second niveau redevient conditionnel.

Les 5 erreurs qui coûtent des points

Confondre « et » et « sachant que ». « Parmi les X, y %… » = conditionnelle P_X(…) ; « y % sont X et Y » = intersection P(X ∩ Y). Une traduction fausse au départ fait dérailler tout l'exercice.
Mettre une probabilité conditionnelle au premier niveau de l'arbre. Le premier niveau porte les probabilités brutes, le second les conditionnelles. Si l'énoncé ne donne que des « parmi les A… », c'est que A doit être au premier niveau.
Lire l'arbre à l'envers pour calculer P_B(A). L'arbre construit avec A au premier niveau donne P_A(B), jamais P_B(A) directement. Pour inverser, on repasse par la définition (étape 5 ci-dessus).
Ne pas vérifier la règle des nœuds. Dix secondes pour contrôler que chaque nœud somme à 1 (et les feuilles aussi) : c'est le filet de sécurité le plus rentable de tout le chapitre — précieux quand on n'a pas de calculatrice pour se rassurer.
Oublier la phrase de conclusion. Un résultat numérique brut sans interprétation (« la probabilité que… est d'environ… ») fait perdre des points de rédaction. « Communiquer » fait partie des compétences mathématiques évaluées dans la partie « exercices » de l'épreuve.

Et l'épreuve anticipée dans tout ça ? Depuis la session 2026 (première édition le 12 juin 2026), tous les élèves de Première passent en fin d'année une épreuve anticipée de mathématiques : 2 h, sans calculatrice, coefficient 2, avec un QCM d'automatismes sur 6 points puis 2 à 3 exercices de raisonnement sur 14 points — et la note entre dans le dossier Parcoursup. Les élèves de spécialité composent sur le programme de spé, où figure ce chapitre. Structure détaillée, conseils de préparation et sujets pour s'entraîner : voir mon guide complet de l'épreuve anticipée et le programme de spé maths de Première chapitre par chapitre.

Comment travailler ce chapitre efficacement

Bonne nouvelle : c'est un chapitre court, très « méthode », où la progression est rapide. Mon conseil de prof :

Apprendre les 3 règles + la définition de P_A(B) par cœur (15 minutes, pas plus — il y a très peu à mémoriser).
Refaire l'exemple corrigé ci-dessus sans regarder, en rédigeant chaque étape. Si l'inversion du conditionnement passe, le reste suivra.
S'entraîner sans calculatrice sur des valeurs décimales simples : c'est la condition réelle de l'épreuve, et les multiplications du type 0,60 × 0,75 doivent devenir des automatismes.
Varier les habillages (tests de dépistage, sondages, production en usine, tirages) : l'habillage change, la trame en 5 étapes ne change jamais.

📘 Le Pack Réussite Bac Maths — 9,90 €

6 fiches de cours claires + 15 exercices corrigés type bac (niveau Terminale, spé maths), dont une fiche probabilités qui reprend les probabilités conditionnelles et l'indépendance — les méthodes « réflexe » pour ne plus bloquer devant un énoncé. Garanti satisfait ou remboursé 30 jours.

Découvrir le Pack →

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre P(A ∩ B) et P_A(B) ?

P(A ∩ B) est la probabilité que A et B se réalisent tous les deux, rapportée à tout l'univers. P_A(B) est la probabilité de B sachant que A s'est réalisé : on ne regarde plus que la partie de l'univers où A est vrai. Repère linguistique : « et » → intersection ; « sachant que », « parmi » → conditionnelle.

Les probabilités conditionnelles tombent-elles à l'épreuve anticipée ?

Oui, le chapitre fait partie du programme évaluable de la spécialité maths de Première, et les sujets zéro officiels publiés sur Eduscol contiennent des exercices complets avec arbre pondéré, probabilités totales et inversion du conditionnement. À la première session, le 12 juin 2026, l'exercice 1 du sujet de spécialité portait précisément sur les probabilités conditionnelles.

Quel événement placer au premier niveau de l'arbre ?

Celui dont l'énoncé donne la probabilité brute (non conditionnelle). Quand l'énoncé dit « parmi les X, y % vérifient… », X va au premier niveau et la probabilité conditionnelle sur la branche du second niveau.

A-t-on droit à la calculatrice pour ces exercices ?

Non : l'épreuve anticipée de maths se déroule entièrement sans calculatrice. Les sujets utilisent des valeurs simples et fournissent parfois une « aide au calcul ». Entraînez-vous à multiplier des décimaux à la main.

Comment calculer P_B(A) quand l'arbre donne P_A(B) ?

Jamais en lisant l'arbre à l'envers. On revient à la définition : P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B), avec P(A ∩ B) par la règle du produit et P(B) par la formule des probabilités totales.

Sources officielles

• Programme de spécialité mathématiques de première générale (BO spécial n° 1 du 22 janvier 2019) — ministère de l'Éducation nationale (consulté le 02/07/2026)
• Ministère de l'Éducation nationale — Épreuve anticipée de mathématiques en classe de 1re (2025-2026) (consulté le 02/07/2026)
• Service-Public.fr — Modalités de l'épreuve anticipée de mathématiques (décret n° 2025-513 du 10 juin 2025) (consulté le 02/07/2026)
• Eduscol — Sujet zéro de l'épreuve anticipée de mathématiques, voie générale (exercice complet d'arbre pondéré et de probabilités conditionnelles) (consulté le 02/07/2026)
• L'Étudiant — Sujets et corrigés de l'épreuve anticipée de mathématiques 2026 (contenu des sujets de la session du 12 juin 2026) (consulté le 02/07/2026)